Aufbau einer Vierfeldertafel
Eine Vierfeldertafel ordnet eine Gruppe nach zwei Merkmalen mit je zwei Ausprägungen. In den Zeilen steht etwa A und nicht A, in den Spalten B und nicht B. Jedes der vier inneren Felder zählt, wie oft eine Kombination vorkommt. Am Rand stehen die Zeilen- und Spaltensummen, rechts unten die Gesamtzahl.
Aus der Tafel lassen sich alle Wahrscheinlichkeiten ablesen, die zwei Ereignisse betreffen. Die Randwahrscheinlichkeiten P(A) und P(B) sind Zeilen- und Spaltensumme geteilt durch die Gesamtzahl. Die Schnittwahrscheinlichkeit P(A ∩ B) ist das Feld links oben geteilt durch die Gesamtzahl. Bedingte Wahrscheinlichkeiten entstehen, wenn man ein Feld nicht durch die Gesamtzahl, sondern durch eine Zeilen- oder Spaltensumme teilt.
Genau hier passieren die meisten Fehler: P(B | A) und P(A | B) sind fast immer verschieden. Die erste fragt, welcher Anteil der A-Fälle auch B hat, die zweite, welcher Anteil der B-Fälle auch A hat. Der Rechner zeigt beide Richtungen nebeneinander, damit die Verwechslung auffällt.
Unabhängigkeit und typische Aufgaben
Zwei Ereignisse heißen stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht verändert. In der Vierfeldertafel erkennt man das daran, dass P(A ∩ B) genau dem Produkt P(A) · P(B) entspricht. Gleichwertig ist P(B | A) = P(B | nicht A). Im Beispiel fahren Kinder mit kurzem Schulweg deutlich häufiger Rad, die Merkmale hängen also zusammen.
Abhängigkeit sagt allerdings nichts über Ursache und Wirkung. Ein Zusammenhang kann auch durch ein drittes Merkmal entstehen. Für Aussagen über Ursachen braucht es weitere Überlegungen oder ein geplantes Experiment. Ob ein beobachteter Unterschied bei einer Stichprobe mehr als Zufall ist, prüft der Chi-Quadrat-Test.
Viele Aufgaben geben nicht alle vier Felder an, sondern zum Beispiel P(A), P(B | A) und P(B | nicht A). Dann rechnen Sie zuerst die Felder aus: P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A) und so weiter. Diese Rechnung entspricht einem Baumdiagramm, für das es einen eigenen Rechner gibt. Sobald die vier Felder bekannt sind, liefert dieser Rechner alle übrigen Werte.
Ob Sie Anzahlen oder Prozentwerte eintragen, spielt keine Rolle, weil der Rechner die Felder durch ihre Summe teilt. Prozentwerte müssen sich deshalb nicht exakt zu 100 ergänzen. Jede Zeile und jede Spalte muss aber mindestens einen Fall enthalten, sonst ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit nicht definiert.
Tipps und typische Fehler
Tafeln auswerten.
- Richtung: P(A | B) ≠ P(B | A).
- Nenner: Zeile oder Spalte.
- Unabhängig: Produkt prüfen.
- Prozent: Gleich gut wie Anzahlen.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Wie berechne ich P(A | B) aus der Vierfeldertafel?
Teilen Sie das Feld A und B durch die Spaltensumme von B.
Woran erkenne ich Unabhängigkeit?
Wenn das Feld A und B, geteilt durch die Gesamtzahl, gleich dem Produkt der beiden Randwahrscheinlichkeiten ist.
Kann ich Prozentwerte statt Anzahlen eingeben?
Ja. Der Rechner teilt alle Felder durch ihre Summe, das Ergebnis ist in beiden Fällen gleich.
Was steht am Rand der Vierfeldertafel?
Die Zeilen- und Spaltensummen, also die Randwahrscheinlichkeiten P(A), P(nicht A), P(B) und P(nicht B).
Wie hängen Vierfeldertafel und Baumdiagramm zusammen?
Die vier Pfadwahrscheinlichkeiten des Baums sind die inneren Felder der Tafel.
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