Mehrere Mittelwerte auf einmal vergleichen
Die einfaktorielle Varianzanalyse, kurz ANOVA, prüft, ob sich die Mittelwerte mehrerer Gruppen unterscheiden. Typische Fragen sind: Liefern drei Düngemittel unterschiedliche Erträge? Unterscheiden sich die Testergebnisse dreier Lernmethoden? Die Nullhypothese lautet, dass alle Gruppen denselben Mittelwert haben und Unterschiede in der Stichprobe nur zufällig sind.
Man könnte jede Gruppe paarweise mit einem t-Test vergleichen. Bei drei Gruppen wären das drei Tests, bei vier schon sechs, und mit jedem Test steigt die Gefahr, rein zufällig einen Unterschied zu finden. Die ANOVA beantwortet die Gesamtfrage mit einem einzigen Test und hält so das gewählte Signifikanzniveau ein.
Die Idee steckt im Namen: Die Gesamtstreuung der Daten wird zerlegt in die Streuung zwischen den Gruppenmittelwerten und die Streuung innerhalb der Gruppen. Ist die Streuung zwischen den Gruppen im Verhältnis groß, spricht das gegen die Nullhypothese. Das Verhältnis der beiden mittleren Quadratsummen ist der F-Wert.
Ergebnis deuten und Voraussetzungen prüfen
Ein p-Wert unter dem Signifikanzniveau bedeutet: Wenn alle Gruppen in Wahrheit gleich wären, träte ein so großer F-Wert nur selten auf. Die Nullhypothese wird verworfen. Die ANOVA sagt aber nicht, welche Gruppen sich unterscheiden. Dafür folgen sogenannte Post-hoc-Tests, etwa nach Tukey oder paarweise t-Tests mit Bonferroni-Korrektur. Im Beispiel liegt Gruppe 2 deutlich über den beiden anderen.
Die Effektstärke η² gibt an, welcher Anteil der Gesamtstreuung auf die Gruppenzugehörigkeit zurückgeht. Nach gängiger Einordnung gelten Werte ab etwa 0,01 als klein, ab 0,06 als mittel und ab 0,14 als groß. Bei sehr großen Stichproben können auch winzige, praktisch bedeutungslose Unterschiede signifikant werden; η² hilft, das zu erkennen.
Die ANOVA setzt voraus, dass die Gruppen unabhängig voneinander sind, die Werte in jeder Gruppe annähernd normalverteilt sind und die Gruppen ähnliche Varianzen haben. Bei ungefähr gleich großen Gruppen ist das Verfahren recht robust gegenüber kleineren Verletzungen. Sind die Varianzen sehr verschieden, bietet sich die Welch-ANOVA an, bei deutlich nicht normalverteilten Daten der Kruskal-Wallis-Test.
Werden dieselben Personen mehrfach gemessen, etwa vor, während und nach einer Maßnahme, ist eine ANOVA mit Messwiederholung nötig, die dieser Rechner nicht abbildet. Für genau zwei Gruppen liefert die ANOVA denselben p-Wert wie der t-Test für unabhängige Stichproben mit gleichen Varianzen.
Tipps und typische Fehler
Gruppen vergleichen.
- p-Wert: Mit α vergleichen.
- η²: Effekt einordnen.
- Post-hoc: Welche Gruppen?
- Voraussetzungen: Prüfen.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Was prüft eine einfaktorielle ANOVA?
Ob sich die Mittelwerte von zwei oder mehr unabhängigen Gruppen signifikant unterscheiden.
Warum nicht einfach mehrere t-Tests?
Mit jedem zusätzlichen Test steigt die Wahrscheinlichkeit, zufällig einen Unterschied zu finden. Die ANOVA prüft alle Gruppen in einem Test.
Was sagt η² aus?
Den Anteil der Gesamtstreuung, der durch die Gruppenzugehörigkeit erklärt wird.
Wie viele Werte brauche ich pro Gruppe?
Rechnerisch mindestens zwei; für einen aussagekräftigen Test sind deutlich mehr sinnvoll.
Müssen die Gruppen gleich groß sein?
Nein, aber bei ähnlich großen Gruppen ist die ANOVA robuster gegenüber ungleichen Varianzen.
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