pq-Formel Rechner: Quadratische Gleichung lösen

So funktioniert die pq-Formel

Die pq-Formel löst quadratische Gleichungen in der Normalform x² + px + q = 0. Dabei steht vor x² keine Zahl, der Koeffizient ist also 1. Steht dort eine andere Zahl, teilen Sie die gesamte Gleichung zuerst durch diese Zahl. Alternativ nutzen Sie die abc-Formel, die ohne diesen Schritt auskommt.

Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante. Ist sie positiv, gibt es zwei reelle Lösungen, bei null genau eine doppelte Lösung und bei einem negativen Wert keine reelle Lösung. Der Rechner zeigt in diesem Fall die beiden komplexen Lösungen mit der imaginären Einheit i.

$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2} - q}$ $D = \left(\frac{p}{2}\right)^{2} - q$

Beispiel: Für x² − 5x + 6 = 0 ist p = −5 und q = 6. Die Diskriminante beträgt (−2,5)² − 6 = 0,25. Damit ist x = 2,5 ± 0,5, also x₁ = 3 und x₂ = 2. Die Faktorform lautet (x − 3)(x − 2), der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei (2,5 | −0,25).

x_{1,2} = 2{,}5 \pm \sqrt{0{,}25} \;\Rightarrow\; x_1 = 3,\; x_2 = 2

Typische Fehler vermeiden

Der häufigste Fehler ist das Vorzeichen von p. Aus x² − 5x + 6 = 0 folgt p = −5, nicht 5. Prüfen Sie außerdem, ob die Gleichung wirklich auf null gebracht ist, bevor Sie p und q ablesen. Steht rechts vom Gleichheitszeichen noch eine Zahl, bringen Sie sie auf die linke Seite.

Als Probe setzen Sie die Lösungen in die Gleichung ein oder nutzen den Satz von Vieta: Die Summe der Lösungen ist −p und ihr Produkt ist q. Im Beispiel gilt 3 + 2 = 5 = −p und 3 · 2 = 6 = q.

Anwendungen und Beispiele

Quadratische Gleichungen entstehen bei Flächenaufgaben, Wurfbewegungen und Gewinnberechnungen. Soll etwa ein Rechteck mit 6 Quadratmetern Fläche eine Seite haben, die 1 Meter länger als die andere ist, ergibt sich x² + x − 6 = 0. Mit p = 1 und q = −6 erhalten Sie x = 2 und x = −3, die negative Lösung entfällt hier.

Auch beim Faktorisieren hilft die Formel: Kennen Sie die Lösungen x₁ und x₂, lässt sich der Term als (x − x₁)(x − x₂) schreiben. Das ist nützlich, um Brüche zu kürzen oder Ungleichungen zu lösen. Für Gleichungen höheren Grades können Sie oft zuerst substituieren und dann die pq-Formel anwenden.

Merken Sie sich die Reihenfolge: erst die Gleichung auf null bringen, dann durch den Vorfaktor von x² teilen, dann p und q ablesen. Wer diese Reihenfolge einhält, macht deutlich weniger Fehler und kann das Ergebnis mit dem Rechner prüfen.

Tipps und typische Fehler

So gehen Sie vor.

Normalform herstellen: Vor x² darf nur 1 stehen.
Vorzeichen beachten: p und q immer mit Vorzeichen übernehmen.
Probe machen: Die Summe der Lösungen ist −p, das Produkt q.
Diskriminante zuerst: Sie zeigt, ob es überhaupt Lösungen gibt.

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Häufige Fragen

Wann benutze ich die pq-Formel?

Wenn die Gleichung die Form x² + px + q = 0 hat, also x² ohne Vorfaktor. Sonst zuerst durch den Vorfaktor teilen.

Was bedeutet eine negative Diskriminante?

Die Parabel schneidet die x-Achse nicht. Es gibt keine reelle Lösung, nur zwei komplexe.

Was ist der Unterschied zur abc-Formel?

Die abc-Formel löst auch Gleichungen mit Vorfaktor vor x². Die pq-Formel ist die Kurzform für a = 1.

Wie lautet die pq-Formel?

x = −p/2 ± √((p/2)² − q) für Gleichungen der Form x² + px + q = 0.

Gilt die pq-Formel auch bei Vorfaktor vor x²?

Nur nach dem Teilen durch den Vorfaktor. Sonst die abc-Formel benutzen.

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