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Primfaktorzerlegung: Zahl in Primzahlen zerlegen

Tragen Sie eine ganze Zahl ein, der Rechner zerlegt sie in ihre Primfaktoren. Er sagt auch, ob es eine Primzahl ist, und listet Anzahl, Summe und alle Teiler auf.

Ihre Zahl
Eine ganze Zahl von 2 bis 1.000.000.000.000.
Ergebnis

Was ist die Primfaktorzerlegung?

Jede natürliche Zahl größer als 1 lässt sich auf genau eine Weise als Produkt von Primzahlen schreiben. Das besagt der Hauptsatz der Arithmetik. Die Zerlegung dient zum Kürzen von Brüchen, zum Bestimmen von ggT und kgV und beim Finden aller Teiler einer Zahl.

Der Rechner teilt die Zahl der Reihe nach durch 2, 3, 5, 7 und weitere Kandidaten, bis nichts mehr aufgeht. Es genügt, bis zur Wurzel der Zahl zu prüfen. Was am Ende übrig bleibt, ist selbst eine Primzahl. Daraus berechnet er die Anzahl und die Summe aller Teiler.

n=p1e1⋅p2e2⋯pkekn = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}τ(n)=(e1+1)(e2+1)⋯(ek+1)\tau(n) = (e_1 + 1)(e_2 + 1)\cdots(e_k + 1)

Beispiel: Die Zahl 360 zerfällt in 2³ · 3² · 5. Die Anzahl der Teiler beträgt (3 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) = 24, ihre Summe ist 1170. Zu den Teilern gehören 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 und weitere bis 360.360=23⋅32⋅5,τ(360)=4⋅3⋅2=24360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5, \qquad \tau(360) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24

Primzahlen erkennen

Eine Zahl ist eine Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Dann besteht die Zerlegung aus der Zahl selbst, der Rechner meldet das ausdrücklich. Die Zahlen 2, 3, 5, 7, 11 und 13 sind Beispiele, die 2 ist die einzige gerade Primzahl.

Bei sehr großen Zahlen mit großen Primfaktoren dauert die Probedivision etwas länger. Für Zahlen bis eine Billion läuft die Berechnung dennoch in der Regel sofort. Die Teilerliste wird nur gezeigt, solange sie übersichtlich bleibt.

Anwendungen der Zerlegung

Mit der Primfaktorzerlegung lassen sich ggT und kgV bestimmen: Für den ggT nimmt man die gemeinsamen Primfaktoren mit dem kleineren Exponenten, für das kgV alle Primfaktoren mit dem größeren. Außerdem erkennen Sie, ob eine Zahl ein Quadrat ist, nämlich wenn alle Exponenten gerade sind.

In der Informatik spielt die Zerlegung bei Verschlüsselungsverfahren wie RSA eine Rolle, weil sich große Zahlen nur sehr mühsam zerlegen lassen. Für Zahlen bis eine Billion ist das mit dem Rechner dagegen sofort möglich.

Zum Nachrechnen multiplizieren Sie die Faktoren der Zerlegung wieder zusammen. Das Ergebnis muss die Ausgangszahl sein. Auch die Teilerliste hilft bei der Probe: Jeder aufgeführte Teiler muss die Zahl ohne Rest teilen.

Tipps und typische Fehler

Zahlen zerlegen.

  • Kleine Teiler zuerst: 2, 3, 5, 7.
  • Wurzelgrenze: Weiter als bis √n muss man nicht prüfen.
  • Teilbarkeitsregeln: Endziffer, Quersumme.
  • Teilerzahl: Exponenten plus 1 multiplizieren.

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Häufige Fragen

Wie zerlege ich eine Zahl in Primfaktoren?

Teilen Sie nacheinander durch die kleinsten Primzahlen, bis das Ergebnis 1 ist. Die Teiler ergeben die Zerlegung.

Ist 1 eine Primzahl?

Nein. Primzahlen haben genau zwei Teiler, die 1 hat nur einen.

Wofür braucht man die Primfaktorzerlegung?

Für ggT und kgV, zum Kürzen von Brüchen und zur Bestimmung aller Teiler einer Zahl.

Wie viele Teiler hat eine Zahl?

Das Produkt aus (Exponent + 1) für jeden Primfaktor.

Wie erkenne ich eine Primzahl?

Sie hat nur die Teiler 1 und sich selbst. Der Rechner meldet das direkt.

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