Was ggT und kgV bedeuten
Der größte gemeinsame Teiler, kurz ggT, ist die größte Zahl, durch die sich alle gegebenen Zahlen teilen lassen. Mit ihm kürzen Sie Brüche vollständig. Das kleinste gemeinsame Vielfache, kurz kgV, ist die kleinste Zahl, die ein Vielfaches aller gegebenen Zahlen ist. Man braucht es als Hauptnenner beim Addieren von Brüchen.
Der Rechner nutzt den euklidischen Algorithmus: Man teilt die größere Zahl durch die kleinere und wiederholt das mit dem Rest, bis der Rest null ist. Der letzte Divisor ist der ggT. Das kgV ergibt sich daraus über den Zusammenhang zum Produkt der Zahlen.
kgV(a, b) = a · b ÷ ggT(a, b)
ggT über den euklidischen Algorithmus: ggT(a, b) = ggT(b, a mod b)
Teilerfremde Zahlen und Anwendungen
Haben zwei Zahlen den ggT 1, heißen sie teilerfremd. Dann ist das kgV einfach das Produkt. Teilerfremde Zahlen sind wichtig beim Kürzen: Ein Bruch mit teilerfremdem Zähler und Nenner ist vollständig gekürzt.
Typische Anwendungen sind Aufgaben wie: Zwei Busse fahren alle 12 und 18 Minuten, wann treffen sie wieder zusammen? Die Antwort ist das kgV, hier 36 Minuten. Für große Zahlen rechnet der Rechner exakt, ohne Rundungsfehler.
Rechenweg des euklidischen Algorithmus
Der Algorithmus ist über 2000 Jahre alt und besonders effizient. Man teilt die größere durch die kleinere Zahl mit Rest, ersetzt dann die größere Zahl durch die kleinere und die kleinere durch den Rest. Das wiederholt man, bis der Rest null ist. Der letzte Divisor ist der ggT.
Bei drei Zahlen bestimmt man zuerst den ggT von zwei Zahlen und dann den ggT dieses Ergebnisses mit der dritten Zahl. Beim kgV geht man genauso vor. Der Rechner übernimmt beides, auch für sehr große Zahlen bis 10^15.
Probieren Sie mit zwei Zahlen aus, dass ggT mal kgV genau das Produkt der Zahlen ergibt. Bei 48 und 180 gilt 12 · 720 = 8640 = 48 · 180. Diese Probe funktioniert für zwei Zahlen immer und ist ein guter Kontrollweg für Handrechnungen.
Tipps und typische Fehler
Teiler und Vielfache.
- Kürzen mit dem ggT: Der Bruch ist dann vollständig gekürzt.
- Hauptnenner: Er ist das kgV der Nenner.
- Teilerfremd: ggT 1 bedeutet nichts zu kürzen.
- Periodenaufgaben: Das kgV zeigt, wann etwas wieder zusammenfällt.
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Häufige Fragen
Wie berechne ich den ggT?
Mit dem euklidischen Algorithmus oder über die Primfaktorzerlegung: gemeinsame Faktoren mit dem kleineren Exponenten multiplizieren.
Wie hängen ggT und kgV zusammen?
Das Produkt zweier Zahlen ist gleich dem Produkt aus ihrem ggT und ihrem kgV.
Wofür brauche ich das kgV?
Als Hauptnenner beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen und bei Periodenaufgaben.
Was ist der Unterschied zwischen ggT und kgV?
Der ggT ist der größte gemeinsame Teiler, das kgV das kleinste gemeinsame Vielfache.
Wie lautet der ggT von zwei teilerfremden Zahlen?
1.
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