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Binomialverteilung-Rechner: genau, höchstens, mindestens k Treffer

Tragen Sie die Zahl der Versuche, die Erfolgswahrscheinlichkeit und k ein. Der Rechner liefert die Wahrscheinlichkeiten für genau, höchstens und mindestens k Erfolge sowie Erwartungswert und Standardabweichung.

Ihr Zufallsexperiment
Wie oft wird das Experiment wiederholt, höchstens 5000.
Chance auf Erfolg pro Versuch, zum Beispiel 50 für einen Münzwurf.
Wie viele Erfolge Sie betrachten, höchstens n.
Ergebnis

Wann gilt die Binomialverteilung?

Die Binomialverteilung beschreibt, wie oft ein Ereignis bei n unabhängigen Versuchen mit gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit eintritt. Typische Beispiele sind Münzwürfe, Würfeln einer bestimmten Zahl, Anteile defekter Teile bei Qualitätskontrollen oder Treffer bei Multiple-Choice-Tests mit Raten.

Die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge folgt aus dem Binomialkoeffizienten und den Wahrscheinlichkeiten für Erfolg und Misserfolg. Daraus summiert der Rechner die Wahrscheinlichkeiten für höchstens und mindestens k Erfolge. Der Erwartungswert n · p sagt, wie viele Erfolge im Schnitt zu erwarten sind.

P(X=k)=(nk) pk (1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k}\,p^{k}\,(1 - p)^{n - k}μ=np,σ=np (1−p)\mu = n p, \qquad \sigma = \sqrt{n p\,(1 - p)}

Beispiel: Bei 10 Münzwürfen mit p = 50 % ist die Wahrscheinlichkeit für genau 5-mal Kopf 24,61 %. Für höchstens 5-mal Kopf ergibt sich 62,30 %, für mindestens 5-mal ebenfalls 62,30 %. Der Erwartungswert ist 5, die Standardabweichung 1,58.P(X=5)=(105) 0,55 0,55=24,61 %P(X = 5) = \binom{10}{5}\,0{,}5^{5}\,0{,}5^{5} = 24{,}61\,\%

Grenzen des Modells

Das Modell setzt voraus, dass die Versuche unabhängig sind und p immer gleich bleibt. Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Gesamtheit erfüllt das nicht genau, dann gilt die hypergeometrische Verteilung. Bei großen Gesamtheiten ist die Binomialverteilung eine gute Näherung.

Für sehr große n ähnelt die Verteilung einer Normalverteilung mit denselben Werten für Erwartung und Streuung. Dann können Sie die Wahrscheinlichkeiten auch mit dem Normalverteilungs-Rechner abschätzen. Der Rechner erlaubt bis zu 5000 Versuche.

Beispiele aus der Praxis

Ein Multiple-Choice-Test hat 20 Fragen mit je 4 Antworten, von denen eine richtig ist. Wer nur rät, hat p = 25 %. Die Wahrscheinlichkeit, 10 oder mehr Fragen richtig zu raten, ist mit dem Rechner schnell bestimmt und sehr klein. So lässt sich eine Bestehensgrenze begründen.

Bei der Qualitätskontrolle fragt man etwa: Wie wahrscheinlich sind höchstens 2 defekte Teile in einer Stichprobe von 50, wenn 3 % der Teile defekt sind? Der Rechner beantwortet das, solange Stichprobe und Gesamtheit nicht zu klein sind.

Um die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall zu berechnen, etwa zwischen 3 und 6 Erfolgen, bilden Sie die Differenz zweier Werte für höchstens k. Dazu rechnen Sie P(X ≤ 6) minus P(X ≤ 2) mit zwei Rechnungen. So lassen sich beliebige Bereiche bestimmen.

Tipps und typische Fehler

Wahrscheinlichkeiten lesen.

  • Unabhängigkeit: Versuche dürfen sich nicht beeinflussen.
  • p konstant: Die Chance bleibt gleich.
  • Mindestens: Gegenereignis nutzen.
  • Erwartungswert: n mal p.

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Häufige Fragen

Was ist die Binomialverteilung?

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zahl der Erfolge bei n unabhängigen Versuchen mit gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit.

Wie berechne ich mindestens k Erfolge?

Als 1 minus die Wahrscheinlichkeit für höchstens k − 1 Erfolge. Der Rechner zeigt den Wert direkt.

Was ist der Erwartungswert?

n mal p, also die im Mittel zu erwartende Zahl der Erfolge.

Wann benutze ich die Binomialverteilung?

Bei n unabhängigen Versuchen mit gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit.

Was ist eine Bernoulli-Kette?

Eine Folge unabhängiger Versuche mit nur zwei Ausgängen, Erfolg oder Misserfolg.

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