Determinante 3×3 berechnen: Rechner mit Inverse

Was die Determinante aussagt

Die Determinante ordnet einer quadratischen Matrix eine einzelne Zahl zu. Bei einer 3×3-Matrix gibt ihr Betrag das Volumen des Spats an, den die drei Zeilenvektoren aufspannen. Das Vorzeichen zeigt, ob die Orientierung erhalten bleibt oder umgekehrt wird.

Am wichtigsten ist die Aussage über die Umkehrbarkeit. Ist die Determinante null, liegen die drei Vektoren in einer Ebene, und die Matrix hat keine Inverse. Dann ist auch ein lineares Gleichungssystem mit dieser Koeffizientenmatrix nicht eindeutig lösbar.

Berechnet wird die Determinante nach der Regel von Sarrus oder durch Entwicklung nach einer Zeile. Die Inverse ergibt sich aus der Adjunkten, also der transponierten Matrix der Kofaktoren, geteilt durch die Determinante.

$\det A = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$ $A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)$

Beispiel: Für die Matrix mit den Zeilen (1 2 3), (0 1 4) und (5 6 0) gilt det(A) = 1 · (0 − 24) − 2 · (0 − 20) + 3 · (0 − 5) = −24 + 40 − 15 = 1. Die Inverse hat die Zeilen (−24 18 5), (20 −15 −4) und (−5 4 1) und ist ganzzahlig, weil die Determinante 1 ist.

\begin{vmatrix}1&2&3\\0&1&4\\5&6&0\end{vmatrix} = -24 + 40 - 15 = 1

Rechenwege und Proben

Beim Entwickeln nach der ersten Zeile achten Sie auf das Schachbrettmuster der Vorzeichen: plus, minus, plus. Ein vergessenes Vorzeichen beim mittleren Term ist der häufigste Fehler. Hilfreich ist es, die Zeile oder Spalte mit den meisten Nullen zu wählen, weil dann Terme wegfallen.

Zur Probe multiplizieren Sie die Matrix mit ihrer Inversen und prüfen, ob die Einheitsmatrix herauskommt. Für die Determinante gelten außerdem klare Regeln: Vertauschen zweier Zeilen ändert das Vorzeichen, ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen zu addieren ändert den Wert nicht, und eine Nullzeile ergibt die Determinante 0.

Die Matrix aus 1 bis 9 mit den Zeilen (1 2 3), (4 5 6) und (7 8 9) ist ein bekanntes Beispiel für eine singuläre Matrix. Ihre Determinante ist 0, weil die dritte Zeile das Doppelte der zweiten minus die erste ist. Der Rechner zeigt hier konsequent keine Inverse an.

Bei größeren Matrizen wird die Handrechnung schnell aufwendig. Dann hilft das Gaußsche Eliminationsverfahren: Sie bringen die Matrix auf Dreiecksform, und die Determinante ist das Produkt der Diagonaleinträge, korrigiert um das Vorzeichen bei Zeilenvertauschungen.

Tipps und typische Fehler

Determinanten sicher bestimmen.

Vorzeichenmuster: Plus, minus, plus bei der Entwicklung.
Nullen nutzen: Zeile mit vielen Nullen wählen.
Probe: Matrix mal Inverse ergibt die Einheitsmatrix.
Singulär: Determinante 0 heißt abhängige Zeilen.

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Häufige Fragen

Wie berechne ich eine 3×3-Determinante?

Nach Sarrus oder durch Entwicklung nach der ersten Zeile mit den Unterdeterminanten.

Was bedeutet Determinante 0?

Die Matrix ist singulär und hat keine Inverse, die Zeilen sind linear abhängig.

Wie finde ich die Inverse?

Adjunkte der Matrix durch die Determinante teilen. Der Rechner übernimmt das.

Wie lautet die Regel von Sarrus?

Die ersten beiden Spalten rechts anhängen, Hauptdiagonalen addieren und Nebendiagonalen abziehen.

Wann ist eine 3×3-Matrix invertierbar?

Wenn ihre Determinante ungleich null ist.

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