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Winkelrechner: Grad, Bogenmaß und Winkelfunktionen

Tragen Sie einen Winkel in Grad oder im Bogenmaß ein, bei Bogenmaß auch als Vielfaches von pi. Der Rechner rechnet um und liefert Sinus, Kosinus und Tangens.

Ihr Winkel
Grad: eine Zahl wie 60 oder -30. Bogenmaß: eine Zahl oder ein Vielfaches von pi, zum Beispiel 1,5, pi/4 oder 2pi.
Ergebnis

Grad, Bogenmaß und Einheitskreis

Winkel messen Sie im Alltag in Grad, wobei ein voller Kreis 360 Grad hat. In Mathematik und Physik ist das Bogenmaß üblich. Es gibt die Länge des Bogens am Einheitskreis an, ein voller Kreis entspricht also 2π, ein gestreckter Winkel π und ein rechter Winkel π ÷ 2.

Die Umrechnung ist ein einfacher Dreisatz: Grad mal π ÷ 180 ergibt das Bogenmaß, Bogenmaß mal 180 ÷ π ergibt Grad. Viele wichtige Winkel haben schöne Bogenmaße: 30 Grad sind π ÷ 6, 45 Grad sind π ÷ 4, 60 Grad sind π ÷ 3 und 90 Grad sind π ÷ 2.

Am Einheitskreis, dem Kreis mit Radius 1, ist der Kosinus die x-Koordinate und der Sinus die y-Koordinate des Punktes zum Winkel. Der Tangens ist ihr Quotient. Daraus erklären sich Vorzeichen und Sonderfälle: Bei 90 Grad ist der Kosinus 0, deshalb ist der Tangens dort nicht definiert.

αrad=αGrad⋅π180∘\alpha_{\text{rad}} = \alpha_{\text{Grad}}\cdot\frac{\pi}{180^\circ}tan⁡α=sin⁡αcos⁡α,sin⁡2α+cos⁡2α=1\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \qquad \sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1

Beispiel: Für 60 Grad gilt 60 · π ÷ 180 = π ÷ 3 ≈ 1,0472. Dazu gehören sin 60° ≈ 0,8660, cos 60° = 0,5 und tan 60° ≈ 1,7321. Der Winkel liegt im I. Quadranten. Umgekehrt entspricht π ÷ 4 genau 45 Grad mit sin = cos ≈ 0,7071 und tan = 1.60∘=π3≈1,0472,sin⁡60∘=32≈0,866060^\circ = \frac{\pi}{3}\approx 1{,}0472, \qquad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}8660

Tipps für den Taschenrechner und die Schule

Der häufigste Fehler beim Taschenrechner ist die falsche Einstellung DEG oder RAD. Wer sin(30) im Bogenmaß rechnet, erhält −0,988 statt 0,5. Stellen Sie die Einheit passend zur Aufgabe ein oder rechnen Sie, wie hier, ausdrücklich um.

Negative Winkel drehen im Uhrzeigersinn. Der Rechner zeigt deshalb zusätzlich den gleichwertigen Winkel zwischen 0 und 360 Grad. Aus minus 30 Grad wird so 330 Grad, und beide haben dieselben Werte für Sinus und Kosinus, weil sich die Funktionen nach 360 Grad wiederholen.

Die Winkelfunktionen brauchen Sie in der Geometrie für Dreiecke, in der Physik für Schwingungen und Wellen, in der Technik für Kräftezerlegungen. Den Zusammenhang mit dem Dreieck zeigt der Dreiecksrechner, die Kreisgrößen berechnet der Kreisrechner.

Wer häufiger zwischen den Einheiten wechselt, merkt sich am besten: ein Radiant sind etwa 57,3 Grad und ein Grad etwa 0,01745 Radiant. Mit diesen Näherungswerten lassen sich Ergebnisse schnell auf Plausibilität prüfen, bevor Sie exakt rechnen.

Tipps und typische Fehler

Winkel sicher umrechnen.

  • DEG oder RAD: Auf dem Taschenrechner die richtige Einheit wählen.
  • Merkwerte: 30°, 45°, 60°, 90° entsprechen π/6, π/4, π/3, π/2.
  • Tangens: Bei 90° und 270° nicht definiert.
  • Negative Winkel: Drehen im Uhrzeigersinn.

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  • Grad in Bogenmaß
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  • Winkel umrechnen
  • Sinus Kosinus Tangens Rechner
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Häufige Fragen

Wie rechne ich Grad in Bogenmaß um?

Mit π ÷ 180 multiplizieren. 180 Grad entsprechen π, 90 Grad π ÷ 2.

Warum ist der Tangens bei 90 Grad nicht definiert?

Weil der Kosinus dort 0 ist und der Tangens als Sinus durch Kosinus durch 0 teilen müsste.

Wie gebe ich π ein?

Als pi, zum Beispiel pi/4, 2pi oder 0,5pi. Das Eingabefeld erkennt diese Schreibweise.

Wie viel sind 180 Grad im Bogenmaß?

Genau π, also etwa 3,14159.

Wie rechne ich Bogenmaß in Grad um?

Mit 180 ÷ π multiplizieren. Ein Radiant entspricht etwa 57,296 Grad.

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