Was berechnen Sinus, Kosinus und Tangens?
Die Winkelfunktionen verbinden Winkel und Seitenverhältnisse. Im rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus eines Winkels das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse, der Kosinus das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse und der Tangens das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete. Der Kotangens ist der Kehrwert des Tangens.
Am Einheitskreis gelten die Funktionen für beliebige Winkel: Ein Punkt auf dem Kreis mit Radius 1 hat die Koordinaten (cos α, sin α). Deshalb können Sinus und Kosinus auch negativ werden, und die Funktionen wiederholen sich alle 360 Grad. Bei 90 und 270 Grad ist der Kosinus null, der Tangens ist dort nicht definiert.
Die Umkehrfunktionen Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens liefern zu einem Funktionswert den Winkel. Weil viele Winkel denselben Funktionswert haben, geben sie einen Hauptwert zurück: Arkussinus und Arkustangens zwischen −90 und 90 Grad, Arkuskosinus zwischen 0 und 180 Grad. Der Rechner zeigt zusätzlich die zweite Lösung zwischen 0 und 360 Grad.
Grad, Bogenmaß und typische Fehler
Der häufigste Fehler bei Winkelfunktionen ist die falsche Einheit. Taschenrechner und Programmiersprachen rechnen oft im Bogenmaß, Schulaufgaben meist in Grad. sin(30) ergibt im Bogenmaß etwa −0,988 statt 0,5. Achten Sie deshalb auf die Einstellung DEG oder RAD am Taschenrechner und wählen Sie hier die passende Einheit.
Einige Werte sollte man kennen: sin 0° = 0, sin 30° = 0,5, sin 45° = √2 ÷ 2 ≈ 0,7071, sin 60° = √3 ÷ 2 ≈ 0,8660 und sin 90° = 1. Beim Kosinus ist die Reihenfolge umgekehrt. Der Tangens von 45 Grad ist genau 1. Für Vielfache von 30 und 90 Grad gibt der Rechner die exakten Werte aus, damit keine Rundungsreste wie 0,0000000001 erscheinen.
In der Praxis braucht man Winkelfunktionen beim Vermessen, im Handwerk und in der Technik. Aus der Länge einer Leiter und ihrem Anstellwinkel folgt die erreichbare Höhe, aus Steigung und Strecke der Höhenunterschied. In der Physik zerlegen sie Kräfte in Komponenten, in der Elektrotechnik beschreiben sie Wechselspannungen.
Fehlende Seiten und Winkel eines Dreiecks berechnet der Dreieck-Rechner, Winkel in andere Einheiten rechnet der Winkelrechner um. Für rechtwinklige Dreiecke mit bekannten Seiten hilft der Pythagoras-Rechner.
Tipps und typische Fehler
Winkel sicher rechnen.
- DEG/RAD: Einheit prüfen.
- Merkwerte: 30, 45, 60 Grad.
- Periode: 360 Grad.
- Zweite Lösung: Beachten.
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Häufige Fragen
Wie berechne ich den Sinus von 30 Grad?
sin 30° = 0,5; im rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete halb so lang wie die Hypotenuse.
Warum ist tan 90° nicht definiert?
Weil der Kosinus bei 90 Grad null ist und durch null nicht geteilt werden kann.
Wie rechne ich Grad in Bogenmaß um?
Grad mal π geteilt durch 180; 180 Grad entsprechen π.
Was ist der Einheitskreis?
Ein Kreis mit Radius 1, an dem sich Sinus und Kosinus als Koordinaten ablesen lassen.
Was ist der Kotangens?
Der Kehrwert des Tangens, also Kosinus geteilt durch Sinus.
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