Wofür braucht man die Poisson-Verteilung?
Die Poisson-Verteilung beschreibt, wie oft ein seltenes Ereignis in einem festen Zeitraum oder Bereich eintritt, wenn die Ereignisse unabhängig voneinander und mit konstanter mittlerer Rate auftreten. Typische Beispiele sind Anrufe in einer Hotline pro Stunde, Kunden an einer Kasse pro Viertelstunde, Tippfehler pro Seite oder Ausfälle einer Maschine pro Monat.
Die Verteilung hat nur einen Parameter, den Erwartungswert λ. Er gibt an, wie viele Ereignisse im Mittel auftreten. Erwartungswert und Varianz sind gleich λ, die Standardabweichung ist die Wurzel daraus. Bei kleinem λ ist die Verteilung stark schief, bei großem λ nähert sie sich der Normalverteilung an.
Der Rechner gibt die Wahrscheinlichkeit für genau k Ereignisse aus und die kumulierten Wahrscheinlichkeiten für höchstens, weniger als, mindestens und mehr als k Ereignisse. Damit lassen sich Fragen beantworten wie: Wie wahrscheinlich ist es, dass in einer Stunde mehr als zehn Anrufe eingehen, wenn es im Schnitt sechs sind?
Voraussetzungen und Näherungen
Die Poisson-Verteilung setzt voraus, dass Ereignisse einzeln und unabhängig auftreten und die mittlere Rate im betrachteten Zeitraum konstant ist. Kommen Kunden in Gruppen oder ballen sich Anrufe zur Mittagszeit, ist die Annahme verletzt. Dann ist die tatsächliche Streuung meist größer, und Spitzen werden unterschätzt. Teilen Sie den Tag in solchen Fällen in Abschnitte mit eigener Rate.
Die Poisson-Verteilung ist eine gute Näherung für die Binomialverteilung, wenn die Zahl der Versuche groß und die Trefferwahrscheinlichkeit klein ist. Als Faustregel gilt n ≥ 50 und p ≤ 0,05; dann setzt man λ = n × p. So lässt sich etwa die Zahl fehlerhafter Teile in einer großen Lieferung schätzen, ohne mit großen Binomialkoeffizienten zu rechnen.
Der Erwartungswert λ muss zum betrachteten Zeitraum passen. Kommen im Schnitt 16 Anrufe pro Stunde, sind es pro Viertelstunde λ = 4. Bei großen Werten von λ, etwa ab 30, lässt sich die Verteilung durch eine Normalverteilung mit Mittelwert λ und Standardabweichung √λ annähern. Der Rechner rechnet aber auch dort exakt.
Für eine feste Zahl von Versuchen mit gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit nutzen Sie den Binomialverteilung-Rechner, für Ziehungen ohne Zurücklegen den Rechner für die hypergeometrische Verteilung. Wahrscheinlichkeiten stetiger Größen berechnet der Normalverteilung-Rechner.
Tipps und typische Fehler
Seltenes berechnen.
- Zeitraum: λ anpassen.
- Unabhängig: Voraussetzung.
- Spitzen: Abschnitte bilden.
- Großes λ: Normalnäherung.
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Häufige Fragen
Was bedeutet λ in der Poisson-Verteilung?
Die mittlere Zahl der Ereignisse im betrachteten Zeitraum; sie ist zugleich Erwartungswert und Varianz.
Wann ist die Poisson-Verteilung geeignet?
Für seltene, unabhängige Ereignisse mit konstanter mittlerer Rate, etwa Anrufe oder Ausfälle.
Wie hängt sie mit der Binomialverteilung zusammen?
Bei vielen Versuchen und kleiner Trefferwahrscheinlichkeit nähert sie die Binomialverteilung mit λ = n × p an.
Kann λ eine Kommazahl sein?
Ja, λ ist ein Mittelwert und darf jeden positiven Wert haben, k dagegen nur ganze Zahlen.
Wie bestimme ich λ aus Daten?
Als Mittelwert der beobachteten Anzahlen pro Zeitraum.
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