Was sagt der Erwartungswert aus?
Der Erwartungswert ist der Wert, den eine Zufallsgröße im Mittel annimmt, wenn man ein Zufallsexperiment sehr oft wiederholt. Bei einem fairen Würfel ist er 3,5, obwohl diese Zahl nie fällt. Bei Glücksspielen zeigt er, wie viel man pro Spiel auf lange Sicht gewinnt oder verliert. In der Versicherungsmathematik und im Risikomanagement ist er die Grundlage jeder Kalkulation.
Berechnet wird der Erwartungswert als Summe der Produkte aus jedem möglichen Wert und seiner Wahrscheinlichkeit. Seltene, aber große Werte können ihn stark beeinflussen. Deshalb reicht der Erwartungswert allein nicht aus, um ein Risiko zu beurteilen. Die Varianz und die Standardabweichung zeigen, wie weit die tatsächlichen Ergebnisse typischerweise vom Erwartungswert abweichen.
Der Rechner nimmt Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahlen, in Prozent oder als Gewichte entgegen. Gewichte sind praktisch, wenn Sie absolute Häufigkeiten aus einer Beobachtung haben, etwa wie oft ein Ergebnis in 200 Versuchen vorkam. Der Rechner normiert sie dann auf die Summe eins. Kleine Rundungsabweichungen, etwa dreimal 0,333, werden toleriert.
Erwartungswert richtig deuten
Ein positiver Erwartungswert bedeutet nicht, dass man in jedem Spiel gewinnt. Im Beispiel verliert man in sechs von zehn Spielen. Erst über viele Wiederholungen nähert sich der Durchschnitt dem Erwartungswert an; das ist das Gesetz der großen Zahlen. Bei wenigen Versuchen kann das Ergebnis deutlich abweichen, umso mehr, je größer die Standardabweichung ist.
Bei Lotterien und Casinospielen ist der Erwartungswert für die Spieler fast immer negativ, weil der Anbieter einen Teil der Einsätze einbehält. Bei Versicherungen gilt das ebenfalls aus Sicht der Versicherten. Eine Versicherung kann trotzdem sinnvoll sein, weil sie seltene, existenzbedrohende Schäden abdeckt. Hier zählt die Streuung mehr als der Mittelwert. Die Rechnung ist keine Anlage- oder Finanzberatung.
Die Varianz wird in quadrierten Einheiten gemessen, bei Euro also in Quadrat-Euro. Anschaulicher ist die Standardabweichung, die dieselbe Einheit wie die Werte hat. Für viele Verteilungen liegt ein großer Teil der Ergebnisse innerhalb einer Standardabweichung um den Erwartungswert, bei sehr schiefen Verteilungen wie im Beispiel gilt diese Faustregel aber nur eingeschränkt.
Für Verteilungen mit fester Formel gibt es eigene Rechner: den Binomialverteilung-Rechner und den Poisson-Verteilung-Rechner. Mittelwert und Streuung beobachteter Daten berechnet der Statistik-Rechner, gewichtete Durchschnitte der Rechner für den gewichteten Mittelwert.
Tipps und typische Fehler
Risiken einschätzen.
- Summe: Muss 1 sein.
- Streuung: Mitbetrachten.
- Langfristig: Gilt im Mittel.
- Gewichte: Für Häufigkeiten.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Wie berechne ich den Erwartungswert?
Jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizieren und alle Produkte addieren.
Was ist der Erwartungswert eines Würfels?
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) ÷ 6 = 3,5.
Was ist der Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung?
Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz und hat dieselbe Einheit wie die Werte.
Was bedeutet ein negativer Erwartungswert?
Dass man auf lange Sicht im Durchschnitt verliert, etwa bei den meisten Glücksspielen.
Muss der Erwartungswert ein möglicher Wert sein?
Nein, beim Würfel ist er 3,5, obwohl diese Zahl nie fällt.
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