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Mathe & Formeln

Kombinatorik-Rechner: n über k, Fakultät und Variationen

Tragen Sie n und k ein, der Rechner liefert alle wichtigen Abzählformeln auf einmal. Dazu gehören der Binomialkoeffizient, die Fakultät sowie Variationen und Kombinationen mit und ohne Wiederholung.

Ihre Aufgabe: k aus n
Aus wie vielen Elementen wird gezogen, höchstens 170.
Wie oft gezogen wird, höchstens n.
Ergebnis

Welche Formel wofür?

Die Kombinatorik zählt Möglichkeiten. Es kommt auf zwei Fragen an: Spielt die Reihenfolge eine Rolle, und wird zurückgelegt oder nicht? Der Binomialkoeffizient n über k zählt Auswahlen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen, wie beim Lotto. Variationen berücksichtigen die Reihenfolge, etwa bei Passwörtern und Podestplätzen.

Die Fakultät n! ist das Produkt aller Zahlen von 1 bis n und zählt die Anordnungen von n verschiedenen Elementen. Der Rechner berechnet alle fünf Größen mit exakten ganzen Zahlen. Sehr große Werte gibt er in Zehnerpotenzen an.

(nk)=n!k! (n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n - k)!}V(n,k)=n!(n−k)!,V∗(n,k)=nkV(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!}, \qquad V^{*}(n, k) = n^{k}

Beispiel: Beim Lotto 6 aus 49 gibt es 49 über 6 = 13.983.816 mögliche Ziehungen, die Chance auf sechs Richtige beträgt also etwa 1 zu 14 Millionen. Mit Beachtung der Reihenfolge wären es 10.068.347.520 Möglichkeiten.(496)=13 983 816\binom{49}{6} = 13\,983\,816

Beispiele aus dem Alltag

Ein vierstelliger PIN-Code aus den Ziffern 0 bis 9 hat 10⁴ = 10.000 Möglichkeiten, denn die Reihenfolge zählt und Ziffern wiederholen sich: Variation mit Wiederholung. Ein Komitee aus 3 von 10 Personen lässt sich auf 120 Arten wählen, das ist 10 über 3.

Kombinationen mit Wiederholung zählen etwa, wie viele Eissorten-Kombinationen mit k Kugeln aus n Sorten möglich sind, wenn Sorten mehrfach vorkommen dürfen. Die Voraussetzung für alle Formeln ist, dass die Elemente unterscheidbar sind.

Beispielrechnungen

Wie viele Möglichkeiten gibt es, beim Fußball 3 Elfmeterschützen aus 11 Spielern auszuwählen, wenn die Reihenfolge zählt? Das sind 11 · 10 · 9 = 990 Variationen ohne Wiederholung. Ohne Beachtung der Reihenfolge sind es nur 165, also 11 über 3.

Für ein sechsstelliges Passwort aus 26 Buchstaben gibt es 26⁶ = 308.915.776 Möglichkeiten, bei zusätzlichen Ziffern und Großbuchstaben deutlich mehr. Das zeigt, warum längere Passwörter so viel sicherer sind: Die Zahl der Möglichkeiten wächst exponentiell.

Wichtig ist die richtige Auswahl der Formel. Fragen Sie sich zuerst, ob die Reihenfolge zählt, und danach, ob Elemente mehrfach vorkommen dürfen. Beide Antworten zusammen führen zu genau einer der vier Formeln, die der Rechner nebeneinander zeigt.

Beachten Sie, dass die Rechner-Ergebnisse bei sehr großen Zahlen in Zehnerpotenzen erscheinen. Die Angabe der Stellenzahl hilft, die Größenordnung einzuschätzen. Eine Zahl mit 63 Stellen wie 49! ist weit größer als alles, was sich anschaulich zählen lässt.

Tipps und typische Fehler

Richtig abzählen.

  • Reihenfolge? Sie entscheidet zwischen Variation und Kombination.
  • Zurücklegen? Es ändert die Formel.
  • Große Zahlen: Fakultäten wachsen sehr schnell.
  • Lotto: Reihenfolge egal, ohne Zurücklegen.

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  • Kombinatorik Rechner
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  • Binomialkoeffizient berechnen
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Häufige Fragen

Was bedeutet n über k?

Die Zahl der Möglichkeiten, k Elemente aus n auszuwählen, ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen.

Wie hoch ist die Chance auf sechs Richtige im Lotto?

1 zu 13.983.816, das ist 49 über 6.

Was ist 0 Fakultät?

Per Definition 1. Die Fakultät steht für das leere Produkt.

Was ist der Unterschied zwischen Variation und Kombination?

Bei Variationen zählt die Reihenfolge, bei Kombinationen nicht.

Wie berechne ich die Fakultät?

Als Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis n.

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