Was die Normalverteilung beschreibt
Die Normalverteilung, auch Glockenkurve genannt, beschreibt viele natürliche Größen, etwa Körpergrößen, Messfehler oder Testergebnisse. Sie wird durch zwei Werte bestimmt: den Mittelwert μ in der Mitte der Glocke und die Standardabweichung σ, die ihre Breite angibt. Etwa 68 % der Werte liegen innerhalb von einer Standardabweichung um den Mittelwert.
Der z-Wert rechnet einen Messwert in Standardabweichungen vom Mittelwert um. Mit ihm lässt sich die Wahrscheinlichkeit in der Standardnormalverteilung bestimmen. Der Rechner nutzt dazu die Verteilungsfunktion und gibt die Wahrscheinlichkeiten für höchstens a, für mindestens b und für den Bereich dazwischen aus.
Wichtige Faustregeln
Innerhalb von μ ± 1σ liegen etwa 68,3 % der Werte, innerhalb von μ ± 2σ etwa 95,4 % und innerhalb von μ ± 3σ etwa 99,7 %. Mit dem Rechner prüfen Sie das für beliebige Grenzen. Die Wahrscheinlichkeit für einen exakten Wert ist bei stetigen Verteilungen immer 0.
Die Normalverteilung ist nur ein Modell. Wenn Ihre Daten stark schief verteilt sind oder Ausreißer enthalten, passt sie schlecht. Für eine Messreihe können Sie Mittelwert und Standardabweichung vorher mit dem Statistik-Rechner bestimmen.
Anwendungsbeispiele
Körpergrößen erwachsener Männer sind näherungsweise normalverteilt, etwa mit μ = 180 cm und σ = 7 cm. Mit a = 173 und b = 187 erhalten Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person in einem Bereich von einer Standardabweichung um den Mittelwert liegt, also rund 68 %.
In der Qualitätssicherung nutzt man die Normalverteilung für Maßabweichungen: Liegt das Toleranzband bei ±3σ, werden etwa 99,7 % der Teile akzeptiert. Mit dem Rechner können Sie für jedes Toleranzband die Ausschussquote abschätzen.
Möchten Sie nur eine Seite wissen, wählen Sie die Grenzen sehr weit, zum Beispiel b gleich Mittelwert plus zehn Standardabweichungen. Dann entspricht die Wahrscheinlichkeit zwischen a und b praktisch der Wahrscheinlichkeit für mindestens a. Einfacher ist es, die Zeilen für höchstens a und mindestens b abzulesen.
Tipps und typische Fehler
Glockenkurve nutzen.
- Faustregel: 68, 95, 99,7 Prozent.
- z-Wert: Abstand in Standardabweichungen.
- σ größer 0: Sonst keine Verteilung.
- Einzelwerte: Haben die Wahrscheinlichkeit 0.
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Häufige Fragen
Was ist ein z-Wert?
Der Abstand eines Wertes vom Mittelwert, gemessen in Standardabweichungen.
Wie viele Werte liegen innerhalb von 2σ?
Etwa 95,4 % bei einer Normalverteilung.
Ist P(X = a) bei der Normalverteilung null?
Ja, bei stetigen Verteilungen hat ein einzelner Wert die Wahrscheinlichkeit 0. Nur Bereiche haben eine Wahrscheinlichkeit.
Wie berechne ich den z-Wert?
(x − μ) geteilt durch σ.
Was ist die Standardnormalverteilung?
Eine Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1.
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