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Logarithmus-Rechner: log zu beliebiger Basis

Tragen Sie die Basis und das Argument ein, der Rechner berechnet den Logarithmus. Dazu erhalten Sie ln, lg und lb sowie eine Probe durch Potenzieren.

Ihr Logarithmus: log zur Basis b von x
Größer als 0 und ungleich 1. Für ln: 2,71828, für lg: 10.
Muss größer als 0 sein.
Ergebnis

Was ein Logarithmus ist

Der Logarithmus ist die Umkehrung des Potenzierens. Die Frage lautet: Mit welcher Zahl muss man die Basis b potenzieren, um x zu erhalten? Aus 2³ = 8 folgt log₂(8) = 3. Logarithmen vereinfachen Rechnungen mit sehr großen oder sehr kleinen Zahlen und tauchen bei Wachstum, Zerfall, Lautstärke und Erdbebenstärke auf.

Die wichtigsten Basen haben eigene Namen: ln steht für den natürlichen Logarithmus zur Basis e = 2,71828, lg für den Zehnerlogarithmus und lb für den Zweierlogarithmus. Für jede andere Basis lässt sich der Wert über den Basiswechsel aus dem natürlichen Logarithmus berechnen.

log_b(x) = ln(x) ÷ ln(b)
Probe: b^(log_b(x)) = x

Beispiel: Für die Basis 2 und das Argument 8 gilt log₂(8) = ln(8) ÷ ln(2) = 2,0794 ÷ 0,6931 = 3. Die Probe bestätigt 2³ = 8. Zum selben Argument gehören ln(8) = 2,0794 und lg(8) = 0,9031.

Definitionsbereich und Rechenregeln

Der Logarithmus ist nur für positive Argumente definiert und nur für Basen größer als 0 und ungleich 1. Der Rechner prüft das und meldet andernfalls einen Fehler. Für Argumente zwischen 0 und 1 ist der Logarithmus bei Basen über 1 negativ, zum Beispiel lg(0,1) = −1.

Wichtige Rechenregeln sind log(a · b) = log(a) + log(b), log(a ÷ b) = log(a) − log(b) und log(aⁿ) = n · log(a). Mit ihnen lösen Sie Exponentialgleichungen wie 2ˣ = 50: Es gilt x = log₂(50) = 5,64.

Anwendungen des Logarithmus

Logarithmen beschreiben Größen, die über viele Zehnerpotenzen reichen: die Lautstärke in Dezibel, die Erdbebenstärke auf der Richterskala und den pH-Wert. Beim pH-Wert ist es der negative Zehnerlogarithmus der Wasserstoffionen-Konzentration.

Bei Zinseszins und Wachstum hilft der Logarithmus, die Zeit bis zu einem Ziel zu berechnen. Aus 1,05ⁿ = 2 folgt n = ln(2) ÷ ln(1,05) = 14,2. Das ist die Rechnung hinter dem Verdopplungs-Rechner und der 72er-Regel.

Zur Probe potenzieren Sie das Ergebnis mit der Basis. Der Rechner zeigt dies in der Zeile Probe. Bei Argumenten kleiner als 1 und Basen größer als 1 ist das Ergebnis negativ, bei Basen zwischen 0 und 1 dreht sich das Vorzeichen um.

Die Basis e geben Sie am einfachsten als 2,71828 ein oder nehmen direkt die Zeile ln. Für die Basis 10 nutzen Sie die Zeile lg. Sie müssen also nicht für jede Basis neu rechnen, die drei wichtigsten Logarithmen erscheinen immer mit.

Tipps und typische Fehler

Logarithmen anwenden.

  • Definitionsbereich: x muss positiv sein.
  • Basis: Nicht 1, nicht 0.
  • Basiswechsel: Über ln lässt sich jede Basis berechnen.
  • Exponentialgleichungen: Mit dem Logarithmus auflösen.

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  • Logarithmus Rechner
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  • Basiswechsel Logarithmus

Häufige Fragen

Was ist log₂(8)?

3, denn 2 hoch 3 ist 8.

Was ist der Unterschied zwischen ln und lg?

ln hat die Basis e = 2,71828, lg die Basis 10.

Wie löse ich 2^x = 50?

Mit dem Logarithmus: x = log₂(50) = ln(50) ÷ ln(2) = 5,64.

Wie berechne ich den Logarithmus zu einer anderen Basis?

Mit dem Basiswechsel: log_b(x) = ln(x) ÷ ln(b).

Was ist ln(e)?

1, denn e hoch 1 ist e.

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