Was ein Grenzwert aussagt
Der Grenzwert, auch Limes genannt, beschreibt, welchem Wert sich f(x) nähert, wenn x einer Stelle beliebig nahe kommt oder über alle Grenzen wächst. Er muss nicht mit dem Funktionswert übereinstimmen, die Funktion darf an der Stelle sogar undefiniert sein. Berühmte Beispiele sind sin(x) ÷ x für x gegen 0 mit dem Grenzwert 1.
Der Rechner schätzt den Grenzwert numerisch, indem er die Funktion an Punkten auswertet, die immer näher an der Stelle liegen, und erkennt, ob die Werte einem festen Wert zustreben, über alle Grenzen wachsen oder keinen Grenzwert besitzen. Links und rechts werden getrennt geprüft.
lim (x → x₀) f(x) = L, wenn f(x) für x nahe x₀ beliebig nahe an L liegt
Beidseitig existiert er nur, wenn links und rechts derselbe Wert herauskommt.
Wann es keinen Grenzwert gibt
Für 1 ÷ x und x gegen 0 wächst die Funktion rechts nach plus unendlich und links nach minus unendlich. Beidseitig existiert kein Grenzwert, einseitig sind es ±∞. Auch bei Funktionen wie sin(1 ÷ x), die immer schneller schwingen, gibt es keinen Grenzwert.
Das Ergebnis ist eine numerische Schätzung auf fünf Stellen, kein Beweis. Für bekannte Grenzwerte wie (1 + 1/x)^x gegen unendlich erhalten Sie die Euler'sche Zahl e = 2,71828. Bei Funktionen mit sehr langsamer Konvergenz kann die Schätzung abweichen.
Typische Grenzwerte zum Ausprobieren
Für (e^x − 1) ÷ x ergibt sich bei x gegen 0 der Grenzwert 1, für (1 + x)^(1/x) die Zahl e = 2,71828. Bei (x² − 1) ÷ (x − 1) und x gegen 1 liefert der Rechner 2, obwohl die Funktion bei x = 1 nicht definiert ist. Für rationale Funktionen bei x gegen unendlich entscheidet der Grad von Zähler und Nenner.
Probieren Sie auch die Betragsfunktion: |x| ÷ x hat links den Grenzwert −1 und rechts den Grenzwert 1, beidseitig also keinen. Solche Beispiele zeigen den Unterschied zwischen einseitigen und beidseitigen Grenzwerten.
Der Rechner ersetzt keinen Beweis. Er hilft aber, Vermutungen zu prüfen, bevor Sie eine Regel wie de l'Hospital anwenden oder umformen. Bei Aufgaben mit Parametern setzen Sie konkrete Zahlen ein und beobachten, wie sich der Grenzwert ändert.
Tipps und typische Fehler
Grenzwerte einordnen.
- Beide Seiten prüfen: Nur dann existiert der Limes.
- Unendlich: Schreiben Sie unendlich oder -unendlich.
- Definitionslücke: Der Grenzwert existiert trotzdem.
- Schätzung: Das Ergebnis ist numerisch, kein Beweis.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
- Primfaktorzerlegung-Rechner
- ggT-und-kgV-Rechner
- Bruchrechner
- Vektorrechner
- Dreieck-Rechner
- Kombinatorik-Rechner
- Binomialverteilung-Rechner
- Normalverteilung-Rechner
Alle Rechner dieser Kategorie oder alle Rechner A–Z.
Auch gesucht als
Dieser Rechner hilft bei diesen und ähnlichen Fragen:
- Grenzwert Rechner
- Limes Rechner
- Limes berechnen
- Grenzwert berechnen
- lim x gegen unendlich
- Grenzwert online
Häufige Fragen
Was ist ein Grenzwert?
Der Wert, dem sich f(x) nähert, wenn x einer Stelle beliebig nahe kommt oder über alle Grenzen wächst.
Wann existiert kein Grenzwert?
Wenn links und rechts verschiedene Werte herauskommen, die Funktion über alle Grenzen wächst oder dauernd schwingt.
Kann ich unendlich eintragen?
Ja, mit „unendlich“ oder „-unendlich“ für x gegen plus oder minus unendlich.
Was ist ein einseitiger Grenzwert?
Der Grenzwert, wenn man sich der Stelle nur von links oder nur von rechts nähert.
Was ist der Grenzwert von sin(x)/x?
Für x gegen 0 ist er 1.
Alle Berechnungen erfolgen direkt in Ihrem Browser, Ihre Eingaben werden nicht übertragen oder gespeichert. Die Ergebnisse sind Orientierungswerte ohne Gewähr und ersetzen keine steuerliche, rechtliche oder finanzielle Beratung. Letzte inhaltliche Änderung dieser Seite: . Mehr dazu: So entstehen und prüfen wir die Rechner.