Vektorrechner: Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Winkel

Rechnen mit Vektoren

Ein Vektor beschreibt eine Richtung und eine Länge, in der Ebene mit zwei, im Raum mit drei Koordinaten. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl. Es ist null, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen, und es liefert den Winkel zwischen ihnen. Das Kreuzprodukt ist ein neuer Vektor, der senkrecht auf beiden steht.

Der Betrag des Kreuzprodukts entspricht der Fläche des Parallelogramms, das die beiden Vektoren aufspannen. Sind die Vektoren parallel, ist das Kreuzprodukt der Nullvektor. Der Rechner erkennt auch diese Sonderfälle und gibt die Lage der Vektoren zueinander in Worten an.

$\vec a \cdot \vec b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z, \qquad \cos\varphi = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}$ $\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} a_y b_z - a_z b_y \\ a_z b_x - a_x b_z \\ a_x b_y - a_y b_x \end{pmatrix}$

Beispiel: Für a = (1 | 2 | 3) und b = (4 | 5 | 6) ist das Skalarprodukt 4 + 10 + 18 = 32. Das Kreuzprodukt ist (−3 | 6 | −3), die Beträge sind 3,742 und 8,775. Daraus ergibt sich der Winkel 12,93° und die Parallelogrammfläche 7,348.

\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix} = 32, \qquad \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\6\\-3\end{pmatrix}

Sonderfälle

Ist ein Vektor der Nullvektor, ist der Winkel nicht definiert, und der Rechner meldet das. Bei einem Skalarprodukt von null stehen die Vektoren senkrecht, bei einem Kreuzprodukt von null sind sie parallel oder antiparallel, also linear abhängig.

In der Physik nutzt man das Skalarprodukt zum Beispiel für die Arbeit, die eine Kraft entlang eines Weges verrichtet, das Kreuzprodukt für Drehmomente und die Lorentzkraft. Der Winkel wird in Grad ausgegeben und liegt zwischen 0° und 180°.

Geometrische Bedeutung

Das Skalarprodukt misst, wie stark zwei Vektoren in dieselbe Richtung zeigen. Ein positiver Wert bedeutet einen spitzen Winkel, ein negativer einen stumpfen. Das Kreuzprodukt liefert dagegen eine Richtung senkrecht zur Ebene der beiden Vektoren, nach der Rechte-Hand-Regel.

Aus dem Betrag des Kreuzprodukts ergibt sich die Fläche des Parallelogramms, die Hälfte davon ist die Fläche des aufgespannten Dreiecks. Mit dem Skalarprodukt und dem Kreuzprodukt lassen sich Abstände, Flächen und Winkel im Raum bestimmen.

Wenn Sie Punkte statt Vektoren haben, bilden Sie zuerst den Verbindungsvektor aus der Differenz der Koordinaten. Erst dann tragen Sie ihn ein. Mit den Werten lassen sich Abstände, Winkel im Dreieck und Flächen von Parallelogrammen sicher bestimmen.

Tipps und typische Fehler

Vektoren verstehen.

Skalarprodukt 0: Die Vektoren sind senkrecht.
Kreuzprodukt: Es steht senkrecht auf beiden.
Ebene Vektoren: z gleich 0 setzen.
Winkel: Er liegt zwischen 0° und 180°.

Weitere Rechner: Mathe & Formeln

Alle Rechner dieser Kategorie oder alle Rechner A–Z.

Auch gesucht als

Dieser Rechner hilft bei diesen und ähnlichen Fragen:

Vektorrechner online
Skalarprodukt berechnen
Kreuzprodukt berechnen
Winkel zwischen Vektoren
Betrag eines Vektors
Vektoren Rechner 3D

Häufige Fragen

Wann stehen zwei Vektoren senkrecht?

Wenn ihr Skalarprodukt null ist.

Wofür braucht man das Kreuzprodukt?

Es liefert einen Vektor senkrecht zu zwei gegebenen, etwa für Normalenvektoren von Ebenen und Drehmomente.

Wie berechne ich den Winkel zwischen zwei Vektoren?

Mit dem Skalarprodukt geteilt durch das Produkt der Beträge, davon der Arkuskosinus.

Wie berechne ich den Betrag eines Vektors?

Die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten.

Wann sind Vektoren parallel?

Wenn ihr Kreuzprodukt der Nullvektor ist.

Alle Berechnungen erfolgen direkt in Ihrem Browser, Ihre Eingaben werden nicht übertragen oder gespeichert. Die Ergebnisse sind Orientierungswerte ohne Gewähr und ersetzen keine steuerliche, rechtliche oder finanzielle Beratung. Letzte inhaltliche Änderung dieser Seite: 02.10.2026. Mehr dazu: So entstehen und prüfen wir die Rechner.