Geradengleichung Rechner: Gerade durch zwei Punkte

So berechnen Sie die Gerade durch zwei Punkte

Durch zwei verschiedene Punkte verläuft genau eine Gerade. Ihre Gleichung y = mx + n besteht aus der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt n. Die Steigung gibt an, um wie viel y steigt, wenn x um eins wächst. Der Achsenabschnitt ist der Wert, bei dem die Gerade die y-Achse schneidet.

Zuerst wird die Steigung aus den Koordinatenunterschieden berechnet. Danach setzt man einen der Punkte in die Gleichung ein und löst nach n auf. Haben beide Punkte dieselbe x-Koordinate, verläuft die Gerade senkrecht und hat die Form x = Zahl, eine Steigung gibt es dann nicht.

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \qquad n = y_1 - m\,x_1$ $\overline{P_1P_2} = \sqrt{(x_2 - x_1)^{2} + (y_2 - y_1)^{2}}$

Beispiel: Die Punkte (1 | 2) und (3 | 6) ergeben m = (6 − 2) ÷ (3 − 1) = 2 und n = 2 − 2 · 1 = 0. Die Gerade lautet y = 2x, die Nullstelle liegt bei x = 0. Der Steigungswinkel beträgt etwa 63,43°, der Abstand der Punkte 4,47, der Mittelpunkt ist (2 | 4).

m = \frac{6 - 2}{3 - 1} = 2, \quad n = 0 \;\Rightarrow\; y = 2x

Besondere Fälle

Ist die Steigung null, verläuft die Gerade waagerecht und hat die Form y = n. Dann gibt es entweder keine Nullstelle oder, bei n gleich null, liegt die Gerade auf der x-Achse. Der Rechner weist auf diese Fälle hin.

Mit der Gleichung können Sie weitere Aufgaben lösen, zum Beispiel den Schnittpunkt zweier Geraden. Dazu setzen Sie beide Gleichungen gleich oder nutzen den Gleichungssystem-Rechner.

Parallele und senkrechte Geraden

Zwei Geraden sind parallel, wenn sie dieselbe Steigung haben. Sie stehen senkrecht aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen −1 beträgt, die zweite Steigung also der negative Kehrwert der ersten ist. Mit der berechneten Steigung können Sie so die Gleichung einer Parallelen oder Senkrechten durch einen weiteren Punkt aufstellen.

Die Nullstelle der Geraden ist der Schnittpunkt mit der x-Achse. Sie ergibt sich aus −n ÷ m. Das ist nützlich, wenn Sie zum Beispiel wissen möchten, wann ein linear wachsender Wert null erreicht.

Setzen Sie zur Kontrolle beide Punkte in die berechnete Gleichung ein. Beide Seiten müssen übereinstimmen. Für Aufgaben mit mehr als zwei Punkten, die auf einer Geraden liegen sollen, vergleichen Sie die Steigungen paarweise: Sind sie gleich, liegen die Punkte auf einer Linie.

Tipps und typische Fehler

Geraden richtig lesen.

Steigung: Positive Werte steigen, negative fallen.
Senkrechte Geraden: Sie haben keine Steigung.
Zwei Geraden: Gleiche Steigung bedeutet parallel.
Probe: Beide Punkte müssen die Gleichung erfüllen.

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Häufige Fragen

Wie berechne ich die Steigung aus zwei Punkten?

Differenz der y-Werte geteilt durch die Differenz der x-Werte.

Was ist, wenn beide x-Werte gleich sind?

Dann ist die Gerade senkrecht, die Gleichung lautet x = Zahl und es gibt keine Steigung.

Wie finde ich den Schnittpunkt zweier Geraden?

Beide Gleichungen gleichsetzen und nach x auflösen, oder ein Gleichungssystem lösen.

Wie stelle ich eine Geradengleichung auf?

Steigung aus zwei Punkten berechnen, dann n über einen der Punkte bestimmen.

Was ist der y-Achsenabschnitt?

Der Wert n, bei dem die Gerade die y-Achse schneidet, also y für x = 0.

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