Wo schneiden sich zwei Geraden?
Zwei Geraden in der Ebene schneiden sich entweder in genau einem Punkt, sie verlaufen parallel und haben keinen gemeinsamen Punkt, oder sie sind identisch und haben unendlich viele gemeinsame Punkte. Welcher Fall vorliegt, entscheiden die Steigungen: Sind sie verschieden, gibt es genau einen Schnittpunkt. Sind sie gleich, sind die Geraden parallel oder identisch.
Den Schnittpunkt finden Sie, indem Sie die beiden Funktionsterme gleichsetzen: m₁x + b₁ = m₂x + b₂. Nach x aufgelöst ergibt sich x = (b₂ − b₁) ÷ (m₁ − m₂). Den y-Wert erhalten Sie durch Einsetzen von x in eine der beiden Gleichungen. Der Rechner führt diese Schritte aus und zeigt das Ergebnis als Punkt S(x | y).
Zusätzlich berechnet er den Schnittwinkel, also den kleineren der beiden Winkel zwischen den Geraden. Er liegt zwischen 0 und 90 Grad. Stehen die Geraden senkrecht aufeinander, ist das Produkt der Steigungen −1, und der Winkel beträgt genau 90 Grad. Bei parallelen Geraden nennt der Rechner zusätzlich ihren Abstand.
Sonderfälle und Anwendungen
Senkrechte Geraden der Form x = c lassen sich nicht als y = mx + b schreiben, weil ihre Steigung unendlich wäre. Der Schnittpunkt mit einer solchen Geraden ist einfach: x ist bekannt, y ergibt sich durch Einsetzen in die andere Gleichung. Liegt eine Gerade in der Form ax + by = c vor, lösen Sie nach y auf, um Steigung und Achsenabschnitt zu erhalten.
In der Praxis begegnet der Schnittpunkt zweier Geraden oft als Vergleich zweier Tarife: Ein Tarif hat eine hohe Grundgebühr und einen niedrigen Preis je Einheit, der andere umgekehrt. Der x-Wert des Schnittpunkts ist die Menge, ab der sich der erste Tarif lohnt. Ebenso lässt sich die Gewinnschwelle als Schnitt von Kosten- und Erlösgerade deuten.
Der Schnittwinkel ist in der Geometrie und in technischen Zeichnungen wichtig, etwa bei Kreuzungen von Wegen oder Bauteilen. Er wird aus dem Tangens der Differenz der Steigungswinkel berechnet. Ist 1 + m₁ × m₂ gleich 0, ist der Nenner 0, und die Geraden stehen senkrecht.
Die Geradengleichung aus zwei Punkten bestimmt der Geradengleichung-Rechner, die Steigung aus zwei Punkten der Steigungsrechner. Für zwei allgemeine lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten eignet sich der Rechner für Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen; der Schnittpunkt zweier Geraden ist genau die Lösung eines solchen Systems.
Tipps und typische Fehler
Geraden schneiden.
- Gleichsetzen: Erster Schritt.
- Probe: In beide einsetzen.
- Steigung: Gleich heißt parallel.
- Senkrecht: Produkt −1.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Wie berechne ich den Schnittpunkt zweier Geraden?
Funktionsterme gleichsetzen, nach x auflösen und x in eine Gleichung einsetzen.
Wann haben zwei Geraden keinen Schnittpunkt?
Wenn sie die gleiche Steigung, aber verschiedene Achsenabschnitte haben.
Wann stehen zwei Geraden senkrecht aufeinander?
Wenn das Produkt ihrer Steigungen −1 ist.
Wie berechne ich den Abstand paralleler Geraden?
Differenz der Achsenabschnitte geteilt durch √(1 + m²).
Was ist der Schnittwinkel?
Der kleinere Winkel zwischen den Geraden, zwischen 0 und 90 Grad.
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