Gleichungssystem 2x2 Rechner: x und y berechnen

So löst der Rechner das System

Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten besteht aus zwei Gleichungen der Form ax + by = c. Geometrisch sind das zwei Geraden. Die Lösung ist ihr Schnittpunkt. Es gibt drei Fälle: genau ein Schnittpunkt, keine Lösung bei parallelen Geraden oder unendlich viele Lösungen, wenn beide Gleichungen dieselbe Gerade beschreiben.

Der Rechner nutzt die Cramersche Regel. Aus den Zahlen wird die Determinante D gebildet. Ist sie ungleich null, gibt es genau eine Lösung, die als Quotient zweier weiterer Determinanten berechnet wird. Ist D gleich null, erkennt der Rechner, welcher der beiden anderen Fälle vorliegt.

$D = a_1 b_2 - a_2 b_1$ $x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \qquad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$

Beispiel: Das System 2x + y = 5 und x − y = 1 hat die Determinante D = 2 · (−1) − 1 · 1 = −3. Daraus folgen x = (5 · (−1) − 1 · 1) ÷ (−3) = 2 und y = (2 · 1 − 1 · 5) ÷ (−3) = 1. Die Probe bestätigt 2 · 2 + 1 = 5 und 2 − 1 = 1.

D = -3,\quad x = \frac{-5 - 1}{-3} = 2,\quad y = \frac{2 - 5}{-3} = 1

Tipps zur Eingabe

Bringen Sie beide Gleichungen vorher in die Form ax + by = c, mit den Unbekannten links und der Zahl rechts. Fehlt eine Unbekannte in einer Gleichung, tragen Sie 0 ein. Achten Sie auf die Vorzeichen, denn ein Minus vor y gehört zur Zahl b.

Die Probe im Ergebnis hilft, Eingabefehler zu erkennen. Passen beide Seiten nicht zusammen, wurde mit Rundung gerechnet oder eine Zahl falsch eingetragen. Für drei Unbekannte nutzen Sie den 3×3-Rechner.

Beispiele aus der Praxis

Gleichungssysteme tauchen bei Textaufgaben auf: Zwei Tarife, bei denen sich die Kosten nach einer bestimmten Menge gleichen, oder zwei Mischungen, aus denen eine neue entstehen soll. Stellen Sie aus dem Text zwei Gleichungen auf, tragen Sie die Zahlen ein und lesen Sie die Lösung ab.

Ein Beispiel: Tarif A kostet 10 Euro plus 0,20 Euro je Einheit, Tarif B 4 Euro plus 0,30 Euro je Einheit. Mit y als Preis und x als Menge lauten die Gleichungen y − 0,2x = 10 und y − 0,3x = 4. Die Lösung zeigt, bei welcher Menge beide gleich teuer sind.

Wählen Sie bei der Handrechnung das Verfahren nach der Form der Gleichungen: Ist schon eine Gleichung nach einer Unbekannten aufgelöst, eignet sich das Einsetzungsverfahren. Stehen gleiche Vorfaktoren da, bietet sich das Additionsverfahren an. Der Rechner liefert zur Kontrolle das Ergebnis und die Probe.

Tipps und typische Fehler

Systeme sicher lösen.

Form prüfen: Unbekannte links, Zahlen rechts.
Vorzeichen: Ein Minus gehört zur Zahl.
Probe nutzen: Beide Gleichungen müssen stimmen.
Sonderfälle: Parallele Geraden haben keine Lösung.

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Häufige Fragen

Wie löse ich ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten?

Mit Einsetzen, Gleichsetzen, Addieren oder der Cramerschen Regel über Determinanten, wie der Rechner.

Was heißt Determinante 0?

Die Geraden sind parallel oder identisch. Es gibt dann keine oder unendlich viele Lösungen.

Wie erkenne ich unendlich viele Lösungen?

Wenn eine Gleichung ein Vielfaches der anderen ist, beschreiben beide dieselbe Gerade.

Welche Verfahren gibt es?

Einsetzungs-, Gleichsetzungs-, Additionsverfahren und die Cramersche Regel.

Wie erkenne ich keine Lösung?

Die Determinante ist null und die Geraden sind parallel.

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