Dreieck Rechner: Fläche und Winkel aus drei Seiten

So wird das Dreieck berechnet

Sind alle drei Seiten gegeben, ist das Dreieck eindeutig festgelegt. Zuerst prüft der Rechner die Dreiecksungleichung: Die Summe zweier Seiten muss immer größer sein als die dritte, sonst lässt sich kein Dreieck bilden. Anschließend berechnet er die Fläche nach der Formel von Heron, die ohne Höhe auskommt.

Die Winkel ergeben sich mit dem Kosinussatz. Aus der Fläche folgen die Höhen auf jede Seite, der Inkreisradius und der Umkreisradius. Zum Schluss bestimmt der Rechner die Art des Dreiecks: spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig sowie gleichseitig, gleichschenklig oder ungleichseitig.

$s = \frac{a + b + c}{2}, \qquad A = \sqrt{s\,(s - a)(s - b)(s - c)}$ $\cos\alpha = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}$

Beispiel: Für die Seiten 3, 4 und 5 ist s = 6 und die Fläche √(6 · 3 · 2 · 1) = 6. Das Dreieck ist rechtwinklig mit den Winkeln 36,87°, 53,13° und 90°. Die Höhen betragen 4, 3 und 2,4, der Inkreisradius 1 und der Umkreisradius 2,5.

A = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 6, \qquad \alpha = 36{,}87^\circ

Hinweise zur Eingabe

Alle Seiten müssen in derselben Einheit angegeben werden, das Ergebnis der Fläche steht dann in der entsprechenden Quadrat-Einheit. Der Winkel α liegt der Seite a gegenüber, β der Seite b und γ der Seite c. Die Winkelsumme beträgt immer 180°.

Ist ein Dreieck nicht aus drei Seiten gegeben, sondern aus Seiten und Winkeln, müssen Sie zuerst mit Sinus- oder Kosinussatz die fehlenden Seiten bestimmen. Für rechtwinklige Dreiecke gilt zusätzlich der Satz des Pythagoras a² + b² = c².

Weitere Größen im Dreieck

Der Inkreis berührt alle drei Seiten von innen, sein Radius ist Fläche geteilt durch halben Umfang. Der Umkreis geht durch alle drei Ecken, sein Radius ist das Produkt der Seiten geteilt durch das Vierfache der Fläche. Beim rechtwinkligen Dreieck liegt der Mittelpunkt des Umkreises auf der Hypotenuse.

Die Höhen hängen mit der Fläche zusammen: Fläche gleich Grundseite mal Höhe halbe. Der Rechner nutzt das, um alle drei Höhen zu bestimmen. So können Sie das Ergebnis von Hand leicht kontrollieren.

Für Aufgaben, bei denen Winkel und Seiten gemischt gegeben sind, bestimmen Sie die fehlenden Seiten zuerst mit Sinus- oder Kosinussatz. Danach tragen Sie alle drei Seiten ein und erhalten die übrigen Größen. Der Rechner zeigt außerdem, ob das Dreieck spitz-, recht- oder stumpfwinklig ist.

Tipps und typische Fehler

Dreiecke berechnen.

Dreiecksungleichung: Zwei Seiten zusammen sind länger als die dritte.
Einheiten: Alle Seiten in derselben Einheit.
Winkelsumme: 180°.
Rechter Winkel: a² + b² = c².

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Häufige Fragen

Wie berechne ich die Fläche aus drei Seiten?

Mit der Formel von Heron über den halben Umfang s und die drei Seiten.

Wann ist ein Dreieck rechtwinklig?

Wenn a² + b² = c² gilt, mit c als längster Seite. Dann ist ein Winkel genau 90°.

Warum meldet der Rechner einen Fehler?

Die Summe zweier Seiten ist nicht größer als die dritte, daraus lässt sich kein Dreieck bilden.

Wie berechne ich die Fläche eines Dreiecks?

Grundseite mal Höhe geteilt durch 2, oder aus drei Seiten mit der Formel von Heron.

Wie groß ist die Winkelsumme?

Immer 180°.

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