Matrizenrechner 2×2: Multiplikation, Inverse, Determinante

So rechnen Sie mit Matrizen

Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema. Eine 2×2-Matrix hat zwei Zeilen und zwei Spalten. Sie beschreibt zum Beispiel eine lineare Abbildung der Ebene, etwa eine Drehung, Spiegelung oder Streckung, und tritt in Gleichungssystemen und der Computergrafik ständig auf.

Addition und Subtraktion funktionieren eintragsweise: Gleiche Positionen werden addiert oder subtrahiert. Die Multiplikation ist komplizierter. Jeder Eintrag des Ergebnisses ist das Skalarprodukt einer Zeile der ersten mit einer Spalte der zweiten Matrix. Deshalb ist A · B im Allgemeinen nicht gleich B · A.

Die Determinante einer 2×2-Matrix ist das Produkt der Hauptdiagonale minus das Produkt der Nebendiagonale. Sie entscheidet über die Umkehrbarkeit: Nur wenn sie ungleich null ist, besitzt die Matrix eine Inverse. Die Spur ist die Summe der Hauptdiagonale.

$A \cdot B = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \end{pmatrix}$ $\det A = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}, \qquad A^{-1} = \frac{1}{\det A}\begin{pmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{pmatrix}$

Beispiel: Für A = (1 2 ; 3 4) und B = (5 6 ; 7 8) ergibt die Multiplikation in der ersten Zeile 1 · 5 + 2 · 7 = 19 und 1 · 6 + 2 · 8 = 22, in der zweiten Zeile 43 und 50. Die Determinante von A ist 1 · 4 − 2 · 3 = −2, die Inverse lautet (−2 1 ; 1,5 −0,5).

\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}, \qquad \det A = -2

Typische Fehler und Kontrollen

Der häufigste Fehler ist, Matrizen eintragsweise zu multiplizieren. Das ist keine Matrizenmultiplikation, sondern das Hadamard-Produkt. Ein weiterer Stolperstein ist die Reihenfolge: Wer A und B vertauscht, erhält in der Regel ein anderes Ergebnis.

Zur Kontrolle der Inversen multiplizieren Sie A mit A⁻¹. Heraus kommt immer die Einheitsmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonale und Nullen sonst. Außerdem gilt det(A · B) = det(A) · det(B). Im Beispiel ist das (−2) · (−2) = 4, und die Determinante des Ergebnisses 19 · 50 − 22 · 43 = 4 bestätigt das.

Ist die Determinante null, ist die Matrix singulär. Die Zeilen sind dann voneinander abhängig, und das zugehörige Gleichungssystem hat keine eindeutige Lösung. Der Rechner meldet in diesem Fall, dass keine Inverse vorhanden ist.

Tipps und typische Fehler

Sicher rechnen.

Zeilenweise eintragen: Zeile 1 zuerst, dann Zeile 2.
Reihenfolge beachten: A · B ist nicht B · A.
Inverse prüfen: A · A⁻¹ muss die Einheitsmatrix ergeben.
Determinante null: Dann gibt es keine Inverse.

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Häufige Fragen

Wie multipliziere ich zwei Matrizen?

Jeder Eintrag ist das Skalarprodukt einer Zeile der ersten mit einer Spalte der zweiten Matrix.

Wann hat eine Matrix eine Inverse?

Genau dann, wenn ihre Determinante ungleich null ist.

Ist A · B gleich B · A?

Nein, die Matrizenmultiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ.

Wie multipliziere ich Matrizen?

Zeile mal Spalte: Jeder Eintrag ist ein Skalarprodukt aus einer Zeile von A und einer Spalte von B.

Wie berechne ich die Inverse einer 2×2-Matrix?

Hauptdiagonale tauschen, Nebendiagonale negieren und durch die Determinante teilen.

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