Rechnerwerk
Mathe & Formeln

Rechner für lineare Regression

Tragen Sie die x-Werte und die y-Werte Ihrer Messpunkte ein und geben Sie einen x-Wert für die Prognose an. Der Rechner bestimmt die Ausgleichsgerade und beurteilt, wie gut sie passt.

Ihre Messwerte
Getrennt durch Semikolon oder Leerzeichen, Dezimalzahlen mit Komma.
Genauso viele Werte wie bei x, in derselben Reihenfolge.
Für diesen x-Wert berechnet der Rechner den y-Wert der Geraden.
Ergebnis

Was die lineare Regression macht

Die lineare Regression legt durch eine Punktwolke die Gerade, die am besten passt. Als Maßstab dient die Methode der kleinsten Quadrate: Gesucht ist die Gerade, bei der die Summe der quadrierten senkrechten Abstände aller Punkte minimal ist. Daraus ergeben sich Steigung m und Achsenabschnitt n.

Der Korrelationskoeffizient r nach Pearson misst, wie eng die Punkte an einer Geraden liegen. Er reicht von −1 für einen perfekten fallenden Zusammenhang über 0 für keinen linearen Zusammenhang bis +1 für einen perfekten steigenden. Sein Quadrat, das Bestimmtheitsmaß R², gibt den Anteil der erklärten Streuung an.

Mit der Geraden lassen sich Werte prognostizieren. Für x-Werte innerhalb der Messreihe, die Interpolation, ist das meist verlässlich. Für Werte weit außerhalb, die Extrapolation, ist Vorsicht geboten, weil der Zusammenhang dort nicht mehr linear sein muss.

m=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i=1n(xi−xˉ)2,n=yˉ−m xˉm = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)^{2}}, \qquad n = \bar y - m\,\bar xr=∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑(xi−xˉ)2⋅∑(yi−yˉ)2r = \frac{\sum (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sqrt{\sum (x_i - \bar x)^{2}\cdot\sum (y_i - \bar y)^{2}}}

Beispiel: Für die Punkte (1|2), (2|4), (3|5), (4|4), (5|6) sind x̄ = 3 und ȳ = 4,2. Die Summen ergeben 8 für das gemischte Produkt und 10 für die x-Abweichungen. Damit ist m = 0,8 und n = 4,2 − 0,8 · 3 = 1,8. Die Gerade lautet y = 0,8x + 1,8, r ≈ 0,853 und R² ≈ 0,727.y=0,8 x+1,8,r≈0,853,R2≈0,727y = 0{,}8\,x + 1{,}8, \qquad r \approx 0{,}853, \qquad R^{2} \approx 0{,}727

Richtig interpretieren

Eine hohe Korrelation beweist keine Ursache. Eis- und Sonnenbrillenverkäufe steigen gemeinsam, aber nicht, weil das eine das andere verursacht, sondern weil beide vom Wetter abhängen. Prüfen Sie deshalb immer, ob ein inhaltlicher Zusammenhang plausibel ist.

Ausreißer können die Gerade stark verziehen, weil Abweichungen quadriert werden. Schauen Sie sich die Punkte vorher an und prüfen Sie auffällige Werte auf Messfehler. Mit nur zwei oder drei Punkten ist die Aussage außerdem wenig belastbar.

Sind alle y-Werte gleich, ist die Gerade waagerecht, und die Korrelation ist nicht definiert, weil die Streuung der y-Werte null ist. Sind alle x-Werte gleich, gibt es gar keine Regressionsgerade, weil eine senkrechte Gerade keine Steigung hat. Der Rechner weist in beiden Fällen darauf hin.

Ist der Zusammenhang erkennbar gekrümmt, passt eine Gerade schlecht, und das Bestimmtheitsmaß fällt niedrig aus. Dann lohnt es sich, die Werte zu transformieren, zum Beispiel mit dem Logarithmus, oder ein anderes Modell zu verwenden. Eine Skizze der Punkte zeigt das sofort.

Tipps und typische Fehler

Regression richtig deuten.

  • Gleich viele Werte: x und y müssen gleich lang sein.
  • Ausreißer prüfen: Sie verziehen die Gerade stark.
  • Korrelation ist keine Ursache: Zusammenhang inhaltlich prüfen.
  • Prognosen: Außerhalb der Daten unsicher.

Weitere Rechner: Mathe & Formeln

Alle Rechner dieser Kategorie oder alle Rechner A–Z.

Auch gesucht als

Dieser Rechner hilft bei diesen und ähnlichen Fragen:

  • Regressionsgerade berechnen
  • lineare Regression online
  • Ausgleichsgerade Rechner
  • Korrelationskoeffizient berechnen
  • Regressionsrechner
  • Methode der kleinsten Quadrate

Häufige Fragen

Was sagt R² aus?

Den Anteil der Streuung der y-Werte, den die Gerade erklärt. Bei 0,73 sind es 73 Prozent.

Wie viele Wertepaare brauche ich?

Mindestens zwei, sinnvoll sind deutlich mehr. Der Rechner nimmt bis zu 200 Wertepaare.

Beweist hohe Korrelation einen Zusammenhang?

Nein, sie zeigt nur, dass sich Werte gemeinsam ändern, nicht warum.

Wie berechne ich die Regressionsgerade?

Steigung m = Kovarianz ÷ Varianz von x, Achsenabschnitt n = ȳ − m · x̄.

Was bedeutet ein Korrelationskoeffizient von 0,85?

Ein deutlicher positiver linearer Zusammenhang. R² ist dann etwa 0,72.

Alle Berechnungen erfolgen direkt in Ihrem Browser, Ihre Eingaben werden nicht übertragen oder gespeichert. Die Ergebnisse sind Orientierungswerte ohne Gewähr und ersetzen keine steuerliche, rechtliche oder finanzielle Beratung. Letzte inhaltliche Änderung dieser Seite: . Mehr dazu: So entstehen und prüfen wir die Rechner.