Konfidenzintervall Rechner: Mittelwert und Stichprobe

Was ein Konfidenzintervall aussagt

Ein Konfidenzintervall gibt einen Bereich an, in dem der wahre Mittelwert der Grundgesamtheit mit einer bestimmten Sicherheit liegt. Aus einer Stichprobe vom Umfang n mit Mittelwert und Standardabweichung berechnen Sie die Grenzen als Mittelwert plus und minus Fehlermarge.

Die Fehlermarge ist das Produkt aus dem z-Wert und dem Standardfehler s ÷ √n. Der z-Wert hängt vom Konfidenzniveau ab: 1,645 bei 90 Prozent, 1,960 bei 95 Prozent und 2,576 bei 99 Prozent. Je höher die gewünschte Sicherheit, desto breiter das Intervall.

Die Aussage ist leicht misszuverstehen. Ein 95-Prozent-Intervall bedeutet nicht, dass der wahre Wert mit 95 Prozent Wahrscheinlichkeit darin liegt. Es bedeutet, dass bei häufiger Wiederholung der Stichprobenziehung etwa 95 Prozent der berechneten Intervalle den wahren Wert enthalten.

$\bar x \pm z\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}$ $n_{\text{nötig}} = \left(\frac{z\cdot s}{E}\right)^{2}$

Beispiel: Bei x̄ = 50, s = 10 und n = 100 ist der Standardfehler 10 ÷ 10 = 1. Für 95 Prozent beträgt die Fehlermarge 1,96 · 1 = 1,96, das Intervall reicht also von 48,04 bis 51,96. Soll die Fehlermarge höchstens 2 betragen, genügt n = (1,96 · 10 ÷ 2)² ≈ 96,04, gerundet 97.

50 \pm 1{,}96\cdot\frac{10}{\sqrt{100}} = [\,48{,}04;\ 51{,}96\,]

Praxis und Grenzen

Der Standardfehler sinkt mit der Wurzel des Stichprobenumfangs. Wer die Genauigkeit verdoppeln will, braucht deshalb viermal so viele Daten. Das erklärt, warum Umfragen mit 1.000 Befragten schon recht genau sind und mehr Befragte nur langsam weiteren Gewinn bringen.

Die Rechnung beruht auf der Normalverteilung. Bei kleinen Stichproben, grob unter 30, und unbekannter Standardabweichung ist eigentlich die t-Verteilung angemessen, deren Intervall etwas breiter ausfällt. Für größere Stichproben ist der Unterschied vernachlässigbar.

Wichtig ist, dass die Stichprobe zufällig und repräsentativ gezogen wurde. Verzerrungen durch eine schlechte Auswahl kann kein Konfidenzintervall beheben. Prüfen Sie außerdem, ob Sie die Standardabweichung der Stichprobe mit n − 1 im Nenner verwenden, so wie es der Statistikrechner dieser Seite ausgibt.

Als Faustregel für Umfragen gilt: Bei einem Anteilswert um 50 Prozent und 1.000 Befragten liegt die Fehlermarge bei 95 Prozent Sicherheit bei etwa drei Prozentpunkten. Das passt zur Formel, denn der Standardfehler eines Anteils ist √(0,5 · 0,5 ÷ 1.000) ≈ 0,016.

Tipps und typische Fehler

Intervalle richtig deuten.

Niveau und Breite: Mehr Sicherheit heißt breiteres Intervall.
Stichprobe wählen: Zufällig und repräsentativ ziehen.
Vierfacher Umfang: Halbiert die Fehlermarge.
Kleine Stichprobe: Unter 30 besser die t-Verteilung nutzen.

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Häufige Fragen

Was bedeutet ein 95-Prozent-Konfidenzintervall?

Bei vielen Wiederholungen enthalten etwa 95 Prozent der berechneten Intervalle den wahren Mittelwert.

Wie verkleinere ich das Intervall?

Mit einem größeren Stichprobenumfang oder einem niedrigeren Konfidenzniveau. Doppelte Genauigkeit braucht vierfachen Umfang.

Wann nehme ich die t-Verteilung?

Bei kleinen Stichproben unter etwa 30 und unbekannter Standardabweichung. Dieser Rechner nutzt die Normalverteilung.

Welche z-Werte gelten?

1,645 bei 90 Prozent, 1,960 bei 95 Prozent und 2,576 bei 99 Prozent.

Wie groß muss die Stichprobe sein?

n = (z · s ÷ E)². Bei s = 10, E = 2 und 95 Prozent sind es 97.

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