So funktioniert die Lösung mit Determinanten
Ein System mit drei Gleichungen und drei Unbekannten beschreibt drei Ebenen im Raum. Die Lösung ist ihr gemeinsamer Schnittpunkt, falls es genau einen gibt. Von Hand lösen Sie es mit dem Gauß-Verfahren oder durch Einsetzen, was schnell unübersichtlich wird. Der Rechner nimmt Ihnen die Rechenarbeit ab.
Er verwendet die Cramersche Regel: Aus den Zahlen vor den Unbekannten wird die Determinante D gebildet. Ist D ungleich null, gibt es genau eine Lösung. Jede Unbekannte ergibt sich dann als Quotient einer weiteren Determinante und D. Ist D gleich null, ist das System nicht eindeutig lösbar.
D = Determinante der 3×3-Koeffizientenmatrix
x = Dx ÷ D, y = Dy ÷ D, z = Dz ÷ D
Wenn es keine eindeutige Lösung gibt
Bei einer Determinante von null sind die Gleichungen voneinander abhängig oder widersprüchlich. Dann schneiden sich die Ebenen nicht in einem einzigen Punkt, sondern entlang einer Geraden, gar nicht oder liegen aufeinander. Der Rechner meldet das mit einer Fehlermeldung, weil kein einzelner Wert für x, y und z angegeben werden kann.
Achten Sie auf die Eingabe: Die Zahlen müssen in jeder Gleichung in gleicher Reihenfolge stehen. Fehlt eine Unbekannte, tragen Sie 0 ein. Für zwei Unbekannte gibt es einen eigenen, einfacheren Rechner.
Typische Anwendungen
Drei Unbekannte treten bei Mischungs- und Verteilungsaufgaben auf, in der Elektrotechnik bei Knoten- und Maschenregeln und beim Anpassen einer Parabel an drei Punkte. Dort entsteht ein System, in dem die Unbekannten die Koeffizienten a, b und c der Funktion sind.
Bei der Eingabe lohnt sich ein geordnetes Vorgehen: Schreiben Sie die Gleichungen untereinander, sodass x, y und z jeweils in einer Spalte stehen. Erst dann übertragen Sie die Zahlen. So vermeiden Sie vertauschte Koeffizienten, den häufigsten Fehler.
Von Hand empfiehlt sich das Gauß-Verfahren: Man eliminiert schrittweise Unbekannte, bis eine Dreiecksform entsteht. Den Rechner können Sie als Kontrolle benutzen. Stimmen Ihre Werte mit der Lösung überein, ist die Handrechnung korrekt.
Tipps und typische Fehler
Drei Unbekannte im Griff.
- Reihenfolge einhalten: x, y, z in jeder Gleichung gleich.
- Nullen eintragen: Fehlt eine Unbekannte, schreiben Sie 0.
- Determinante lesen: Null heißt nicht eindeutig lösbar.
- Probe: Alle drei Gleichungen prüfen.
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Häufige Fragen
Wie löse ich ein 3×3-Gleichungssystem?
Mit dem Gauß-Verfahren, dem Einsetzen oder der Cramerschen Regel. Der Rechner nutzt Determinanten.
Was bedeutet Determinante 0?
Das System hat keine eindeutige Lösung. Die Ebenen schneiden sich nicht in genau einem Punkt.
Gibt es eine Probe?
Ja, der Rechner setzt die Lösung in Gleichung 1 ein. Sie können dasselbe von Hand bei den anderen tun.
Was ist die Cramersche Regel?
Ein Verfahren, bei dem jede Unbekannte als Quotient zweier Determinanten berechnet wird.
Kann ein 3×3-System unlösbar sein?
Ja, bei Determinante 0 gibt es keine oder unendlich viele Lösungen.
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