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Mathe & Formeln

Nullstellen-Rechner: f(x) = 0 lösen

Tippen Sie die Funktion ein und wählen Sie den Bereich, in dem gesucht werden soll. Der Rechner findet alle Nullstellen im Intervall, auch bei Funktionen höheren Grades oder mit sin, cos und e.

Ihre Funktion
Schreiben Sie wie auf dem Papier: x^2 für x², 2x für 2·x, sin(x), cos(x), sqrt(x), e^x, ln(x), abs(x) und pi. Dezimalzahlen mit Komma.
Untere Grenze des Intervalls.
Obere Grenze des Intervalls.
Ergebnis

So findet der Rechner Nullstellen

Eine Nullstelle ist eine Stelle x, an der f(x) gleich null ist. Dort schneidet oder berührt der Graph die x-Achse. Bei Gleichungen zweiten Grades helfen die pq- oder die abc-Formel. Für Polynome höheren Grades, Winkelfunktionen oder gemischte Funktionen gibt es oft keine geschlossene Formel, dann hilft ein numerisches Verfahren.

Der Rechner prüft die Funktion an 4000 Punkten im gewählten Intervall. Wechselt das Vorzeichen zwischen zwei Punkten, liegt dazwischen eine Nullstelle, die er durch wiederholtes Halbieren auf viele Stellen genau bestimmt. Berührpunkte, wie bei (x − 1)², erkennt er an Minima des Betrags.

Nullstelle x₀: f(x₀) = 0
Vorzeichenwechsel: f(a) · f(b) < 0 ⇒ Nullstelle zwischen a und b

Beispiel: Die Funktion f(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 hat im Intervall von −10 bis 10 drei Nullstellen: x = 1, x = 2 und x = 3. Denn f lässt sich als (x − 1)(x − 2)(x − 3) schreiben.

Grenzen des Verfahrens

Nullstellen außerhalb des Suchbereichs werden nicht gefunden. Wählen Sie das Intervall deshalb groß genug, oder suchen Sie in mehreren Abschnitten. Zwei Nullstellen, die extrem nah beieinanderliegen, können als eine erscheinen. Bei Polstellen wie 1 ÷ x prüft der Rechner, ob der Funktionswert wirklich null ist.

Es werden höchstens acht Nullstellen angezeigt. Das reicht für übliche Aufgaben, bei Funktionen wie sin(x) in einem sehr großen Bereich gibt es unendlich viele. Mit den Nullstellen der Ableitung finden Sie übrigens Hoch- und Tiefpunkte.

Beispiele und Kontrolle

Probieren Sie sin(x) im Bereich von −7 bis 7: Der Rechner findet Nullstellen bei Vielfachen von π. Bei x² − 2 sind die Nullstellen ±1,414214, die Wurzel aus 2. Für e^x − 3 ist die Nullstelle ln(3) = 1,098612. Mit solchen Funktionen sehen Sie, wie das Verfahren auch dort funktioniert, wo es keine einfache Lösungsformel gibt.

Zur Kontrolle setzen Sie die gefundene Nullstelle in die Funktion ein, das Ergebnis muss nahe null liegen. Bei Polynomen vom Grad n gibt es höchstens n Nullstellen. Zählt der Rechner weniger, kann das an einer doppelten oder komplexen Nullstelle liegen.

Bei Funktionen mit vielen Schwingungen wählen Sie das Intervall nicht zu groß, damit alle Nullstellen sicher gefunden werden. Das Verfahren prüft 4000 Punkte, bei einem Bereich von 20 Einheiten also alle 0,005. Nullstellen, die näher beieinanderliegen, können dennoch verschmelzen.

Tipps und typische Fehler

Nullstellen finden.

  • Bereich wählen: Zu klein heißt, Nullstellen fehlen.
  • Mehrfach: Berührpunkte werden mit erkannt.
  • Probe: Setzen Sie x in die Funktion ein.
  • Polstellen: Sie sind keine Nullstellen.

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Auch gesucht als

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  • Nullstellen Rechner
  • Nullstellen berechnen
  • Nullstellen finden
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Häufige Fragen

Was ist eine Nullstelle?

Eine Stelle x, an der der Funktionswert null ist. Dort trifft der Graph die x-Achse.

Wie finde ich Nullstellen von Hand?

Bei quadratischen Funktionen mit der pq- oder abc-Formel, sonst durch Ausklammern, Substitution oder Näherungsverfahren.

Warum findet der Rechner keine Nullstelle?

Entweder gibt es im Intervall keine, oder der Suchbereich ist zu klein gewählt. Vergrößern Sie das Intervall.

Wie berechne ich Nullstellen?

Gleichung f(x) = 0 lösen, bei Polynomen etwa mit Ausklammern, pq-Formel oder Näherungsverfahren.

Kann eine Funktion unendlich viele Nullstellen haben?

Ja, zum Beispiel sin(x). Der Rechner zeigt nur die ersten acht im Intervall.

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