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Mathe & Formeln

Ableitungsrechner: Steigung, Tangente und zweite Ableitung

Tippen Sie die Funktion und die Stelle ein, an der Sie die Steigung wissen möchten. Der Rechner liefert die Ableitung, die zweite Ableitung und die Gleichung der Tangente.

Ihre Funktion
Schreiben Sie wie auf dem Papier: x^2 für x², 2x für 2·x, sin(x), cos(x), sqrt(x), e^x, ln(x), abs(x) und pi. Dezimalzahlen mit Komma.
Eine Zahl oder pi, e, zum Beispiel 2, -1,5 oder pi/4.
Ergebnis

Was die Ableitung aussagt

Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle gibt die Steigung des Graphen dort an, also die momentane Änderungsrate. Sie beantwortet Fragen wie: Wie schnell wächst der Gewinn gerade, wie steil ist die Kurve oder wo liegt ein Hoch- oder Tiefpunkt? An Extremstellen ist die Ableitung null.

Der Rechner bestimmt den Wert der Ableitung an einer von Ihnen gewählten Stelle numerisch mit einem Differenzenquotienten hoher Ordnung. Dazu gibt er die zweite Ableitung an, die verrät, ob die Kurve nach oben oder unten gekrümmt ist, sowie die Tangente und die Steigung der Normalen.

f′(x0)≈−f(x0+2h)+8f(x0+h)−8f(x0−h)+f(x0−2h)12hf'(x_0) \approx \frac{-f(x_0 + 2h) + 8f(x_0 + h) - 8f(x_0 - h) + f(x_0 - 2h)}{12h}t(x)=f′(x0) (x−x0)+f(x0)t(x) = f'(x_0)\,(x - x_0) + f(x_0)

Beispiel: Für f(x) = x³ − 2x ist die Ableitung f′(x) = 3x² − 2. An der Stelle 2 gilt f′(2) = 10 und f(2) = 4. Die zweite Ableitung f″(x) = 6x beträgt dort 12. Die Tangente lautet y = 10x − 16.f(x)=x3−2x  ⇒  f′(x)=3x2−2,f′(2)=10,t(x)=10x−16f(x) = x^{3} - 2x \;\Rightarrow\; f'(x) = 3x^{2} - 2,\quad f'(2) = 10,\quad t(x) = 10x - 16

Hinweise zur Genauigkeit

Die numerische Ableitung wird auf sechs Stellen gerundet und stimmt für glatte Funktionen sehr genau. An Knicken wie bei |x| in x = 0, an Sprungstellen oder Polstellen existiert die Ableitung nicht, der Rechner zeigt dann ein unbrauchbares Ergebnis oder eine Fehlermeldung.

Eine Ableitungsfunktion in Formelform wird nicht ausgegeben. Möchten Sie Extremstellen finden, suchen Sie mit dem Nullstellen-Rechner die Nullstellen der Ableitung. Dazu tragen Sie die von Hand gebildete Ableitung dort ein.

Kurvendiskussion mit der Ableitung

Die Ableitung ist das wichtigste Werkzeug der Kurvendiskussion. Nullstellen der ersten Ableitung sind Kandidaten für Hoch- und Tiefpunkte, Nullstellen der zweiten Ableitung für Wendepunkte. Ist die zweite Ableitung an einer Extremstelle positiv, liegt ein Tiefpunkt vor, ist sie negativ, ein Hochpunkt.

Mit der Tangentengleichung lässt sich eine Funktion in der Nähe einer Stelle durch eine Gerade annähern. Diese Linearisierung wird in der Physik und Technik häufig genutzt. Die Normale steht senkrecht auf der Tangente und hat die negative Kehrwert-Steigung.

Zur Kontrolle einer Handrechnung vergleichen Sie Ihre Ableitungsfunktion an der gewählten Stelle mit dem Ergebnis des Rechners. Stimmen beide überein, ist die Ableitung sehr wahrscheinlich richtig. Probieren Sie dazu mehrere Stellen aus, denn eine einzelne Übereinstimmung kann Zufall sein.

Tipps und typische Fehler

Ableitung richtig nutzen.

  • Stelle prüfen: An Knicken gibt es keine Ableitung.
  • Extremstellen: Ableitung 0 ist ein Hinweis.
  • Tangente: Sie berührt den Graphen nur am Punkt.
  • Zweite Ableitung: Positive Werte bedeuten Linkskrümmung.

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Häufige Fragen

Was gibt die Ableitung an?

Die Steigung des Graphen an einer Stelle, also die momentane Änderungsrate der Funktion.

Wie lautet die Tangente?

y = f′(x₀) · x + n. Der Rechner zeigt die fertige Gleichung mit dem Achsenabschnitt n.

Gibt der Rechner die Ableitungsfunktion aus?

Nein, nur den Wert an einer Stelle. Er arbeitet numerisch, nicht symbolisch.

Wie berechne ich eine Tangente?

Steigung über die Ableitung bestimmen, dann den Punkt in y = mx + n einsetzen.

Was ist die zweite Ableitung?

Die Ableitung der Ableitung. Sie beschreibt die Krümmung des Graphen.

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