Was ein bestimmtes Integral berechnet
Das bestimmte Integral einer Funktion zwischen a und b misst die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse, wobei Flächen unterhalb der Achse negativ zählen. Es wird in Physik, Wirtschaft und Technik genutzt, etwa für zurückgelegte Strecken, Arbeit oder Gesamtmengen aus Änderungsraten.
Von Hand bildet man eine Stammfunktion und setzt die Grenzen ein. Der Rechner geht einen anderen Weg und berechnet den Wert numerisch mit dem Gauß-Legendre-Verfahren. Damit funktionieren auch Funktionen, für die es keine einfache Stammfunktion gibt, etwa e^(−x²). Eine Formel für die Stammfunktion gibt er nicht aus.
∫ von a bis b f(x) dx = F(b) − F(a)
Gesamtfläche = ∫ |f(x)| dx
Mittelwert = Integral ÷ (b − a)
Eingabe und Grenzen
Schreiben Sie Potenzen mit ^, Malpunkte dürfen entfallen: 2x steht für 2·x. Erlaubt sind die Funktionen sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt und abs sowie die Konstanten pi und e. Die Grenzen dürfen ebenfalls pi enthalten, zum Beispiel 2pi. Der Rechner zeigt die verstandene Funktion an, damit Sie sie prüfen können.
Hat die Funktion im Intervall eine Polstelle, etwa 1/x zwischen 0 und 1, existiert das Integral nicht, und der Rechner meldet das. Bei Sprüngen oder Knicken kann die Genauigkeit sinken, die Anzeige der Abweichung hilft bei der Einschätzung. Vertauschen Sie die Grenzen, dreht sich das Vorzeichen um.
Anwendungen des Integrals
In der Physik ergibt das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit den zurückgelegten Weg, in der Wirtschaft das Integral einer Grenzkostenfunktion die Gesamtkosten. Der Mittelwert einer Funktion in einem Intervall ist ein weiteres wichtiges Ergebnis, etwa für die durchschnittliche Temperatur oder Leistung.
Beispiele zum Ausprobieren: Das Integral von sin(x) zwischen 0 und π ist 2, das von 1/x zwischen 1 und e ist 1, und das von e^(−x²) zwischen −5 und 5 ergibt etwa 1,7725, die Wurzel aus π. Solche Kontrollwerte helfen, die Eingabe zu prüfen.
Beachten Sie, dass Flächen unter der x-Achse das Integral verkleinern. Wenn Sie den tatsächlichen Flächeninhalt zwischen Graph und Achse suchen, lesen Sie die Gesamtfläche ohne Vorzeichen ab. Bei Funktionen, die im Intervall das Vorzeichen wechseln, ist der Unterschied zum Integral deutlich.
Tipps und typische Fehler
Integrale sicher eingeben.
- Potenzen: x^2 für x².
- Klammern: sin(2x) statt sin 2x.
- Grenzen: pi ist als Grenze erlaubt.
- Polstellen meiden: Integrale durch Polstellen existieren nicht.
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Häufige Fragen
Wie berechne ich ein bestimmtes Integral?
Stammfunktion bilden und die obere Grenze minus die untere Grenze einsetzen. Der Rechner löst es numerisch.
Kann der Rechner die Stammfunktion angeben?
Nein, er berechnet nur den Wert des bestimmten Integrals. Die Stammfunktion müssen Sie selbst bilden.
Was bedeutet ein negatives Integral?
Die Fläche liegt überwiegend unter der x-Achse. Die Gesamtfläche ohne Vorzeichen zeigt der Rechner extra.
Wie berechne ich die Fläche unter einer Kurve?
Mit dem bestimmten Integral zwischen den beiden Grenzen.
Was ist der Unterschied zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral?
Das bestimmte Integral liefert eine Zahl, das unbestimmte eine Stammfunktion.
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