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abc-Formel-Rechner: ax² + bx + c = 0 lösen

Tragen Sie die Koeffizienten a, b und c ein und erhalten Sie beide Lösungen der quadratischen Gleichung. Der Rechner zeigt zusätzlich die Diskriminante, die Anzahl der Lösungen und den Scheitelpunkt.

Ihre Gleichung: a·x² + b·x + c = 0
Darf nicht 0 sein. Bei 2x² − 4x − 6 = 0 ist a = 2.
Mit Vorzeichen. Fehlt x, tragen Sie 0 ein.
Das Absolutglied mit Vorzeichen.
Ergebnis

So funktioniert die abc-Formel

Die abc-Formel, in der Schule oft Mitternachtsformel genannt, löst jede quadratische Gleichung der Form ax² + bx + c = 0. Anders als bei der pq-Formel darf vor x² eine beliebige Zahl a außer null stehen. Das macht sie zur Standardmethode, wenn die Gleichung nicht in Normalform gegeben ist.

Entscheidend ist die Diskriminante b² − 4ac. Sie verrät, wie viele reelle Lösungen es gibt: zwei bei einem positiven Wert, eine doppelte bei null und keine reelle bei einem negativen Wert. Im letzten Fall liefert der Rechner die komplexen Lösungen.

x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)
Diskriminante D = b² − 4ac

Beispiel: Für 2x² − 4x − 6 = 0 ist a = 2, b = −4 und c = −6. Die Diskriminante beträgt 16 + 48 = 64, die Wurzel daraus ist 8. Damit gilt x₁ = (4 + 8) ÷ 4 = 3 und x₂ = (4 − 8) ÷ 4 = −1. Der Scheitelpunkt liegt bei (1 | −8).

Hinweise zur Eingabe

Bringen Sie die Gleichung immer zuerst auf die Form mit null auf einer Seite. Aus 2x² = 4x + 6 wird 2x² − 4x − 6 = 0. Fehlt ein Glied, tragen Sie 0 ein, bei x² − 9 = 0 also b = 0. Dann geht es auch ohne Formel, doch das Ergebnis bleibt gleich.

Die Probe gelingt über den Satz von Vieta: Die Summe der Lösungen ist −b ÷ a und das Produkt c ÷ a. Im Beispiel ergeben 3 + (−1) = 2 und 3 · (−1) = −3 genau diese Werte.

Wann welche Methode?

Nicht jede quadratische Gleichung braucht die abc-Formel. Fehlt das lineare Glied, wie bei x² − 9 = 0, genügt Umstellen und Wurzelziehen. Fehlt das Absolutglied, wie bei x² − 4x = 0, hilft Ausklammern: x(x − 4) = 0. Die abc-Formel funktioniert in allen Fällen und ist deshalb die sichere Standardmethode.

Der Rechner gibt zusätzlich den Scheitelpunkt aus. Er liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Lösungen, bei x = −b ÷ 2a. So können Sie das Ergebnis ohne weitere Rechnung gegenprüfen. Ein Blick auf die Parabel zeigt, ob die Lösungen plausibel sind.

Sehen Sie das Ergebnis als Kontrolle Ihrer Handrechnung. Gerade bei Vorzeichenfehlern in der Diskriminante hilft der Vergleich. Kommt eine negative Diskriminante heraus, obwohl die Parabel die Achse schneiden sollte, prüfen Sie zuerst die Vorzeichen von b und c.

Tipps und typische Fehler

Sicher lösen.

  • Auf null bringen: Eine Seite der Gleichung muss 0 sein.
  • Fehlende Glieder: Tragen Sie 0 ein.
  • Klammern setzen: Bei negativem b in der Formel −(−b) beachten.
  • Probe: Setzen Sie die Lösung ein.

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Häufige Fragen

Was ist die Mitternachtsformel?

Ein anderer Name für die abc-Formel zur Lösung von ax² + bx + c = 0.

Was mache ich, wenn a gleich 0 ist?

Dann ist die Gleichung linear, bx + c = 0. Die Lösung ist x = −c ÷ b.

Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung haben?

Keine, eine oder zwei reelle Lösungen, abhängig vom Vorzeichen der Diskriminante.

Wie lautet die abc-Formel?

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a).

Wann gibt es keine reelle Lösung?

Wenn die Diskriminante b² − 4ac negativ ist.

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