Lineare Gleichungen verstehen
Eine lineare Gleichung enthält die Unbekannte x nur in der ersten Potenz, also kein x² und kein x im Nenner. Jede solche Gleichung lässt sich in die Form a·x + b = c·x + d bringen. Gesucht ist die Zahl x, für die beide Seiten denselben Wert ergeben. Solche Gleichungen begegnen Ihnen in der Schule ab Klasse 7, aber auch im Alltag, etwa beim Vergleich zweier Tarife mit Grundgebühr und Preis je Einheit.
Das Lösen folgt immer demselben Muster: Man sammelt alle x-Terme auf einer Seite und alle Zahlen auf der anderen. Dazu zieht man auf beiden Seiten dasselbe ab oder addiert dasselbe, denn eine Gleichung bleibt wahr, wenn beide Seiten gleich verändert werden. Am Ende steht ein Vielfaches von x einer Zahl gegenüber, und man teilt durch den Faktor vor x.
Der Rechner schreibt genau diese Schritte mit Ihren Zahlen auf. Ist die Lösung kein glatter Wert, sehen Sie zusätzlich den gekürzten Bruch, sofern alle Eingaben ganze Zahlen sind. Die Probe setzt die Lösung in die linke und die rechte Seite ein; beide Werte müssen übereinstimmen. So erkennen Sie auch, ob Sie die Gleichung richtig in die Eingabefelder übertragen haben.
Sonderfälle und Textaufgaben
Nicht jede lineare Gleichung hat genau eine Lösung. Sind die Faktoren vor x auf beiden Seiten gleich, verschwindet x beim Umformen. Bleibt dann eine falsche Aussage wie 0 = 2 übrig, gibt es keine Lösung, die Lösungsmenge ist leer. Bleibt eine wahre Aussage wie 0 = 0, erfüllt jede reelle Zahl die Gleichung. Der Rechner erkennt beide Fälle und benennt sie.
Klammern und Brüche müssen Sie vor der Eingabe auflösen. Aus 2·(x + 3) = 5x − 1 wird 2x + 6 = 5x − 1, also a = 2, b = 6, c = 5, d = −1. Das Ergebnis ist x = 7/3. Steht x in mehreren Termen auf derselben Seite, fassen Sie die Faktoren zusammen: 4x − x + 2 wird zu 3x + 2. Bei Brüchen hilft es, beide Seiten zuerst mit dem Hauptnenner zu multiplizieren.
Bei Textaufgaben lohnt es, die Gleichung zuerst in Worten aufzuschreiben. Beispiel: Tarif A kostet 10 Euro Grundgebühr und 0,20 Euro je Minute, Tarif B 4 Euro und 0,35 Euro je Minute. Ab wie vielen Minuten ist A günstiger? Die Gleichung 0,2x + 10 = 0,35x + 4 liefert x = 40. Unterhalb von 40 Minuten ist B billiger, darüber A.
Soll ein Ergebnis nicht genau gleich, sondern größer oder kleiner sein, handelt es sich um eine Ungleichung; dafür gibt es den Ungleichung-Rechner. Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten löst der Rechner für Gleichungssysteme, quadratische Gleichungen die pq-Formel. Nutzen Sie die angezeigten Schritte als Vorlage für die eigene Lösung im Heft.
Tipps und typische Fehler
Gleichungen lösen.
- Klammern: Zuerst auflösen.
- Sortieren: x links, Zahlen rechts.
- Teilen: Zum Schluss.
- Probe: Immer einsetzen.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Wann hat eine lineare Gleichung keine Lösung?
Wenn sich x beim Umformen aufhebt und eine falsche Aussage wie 0 = 2 übrig bleibt.
Was bedeutet unendlich viele Lösungen?
Beide Seiten sind gleich, jede reelle Zahl erfüllt die Gleichung.
Wie gebe ich eine Gleichung mit Klammern ein?
Klammern zuerst ausmultiplizieren und gleiche Terme zusammenfassen, dann a, b, c und d ablesen.
Was ist eine Äquivalenzumformung?
Eine Umformung, die auf beiden Seiten gleich ausgeführt wird und die Lösungsmenge nicht verändert.
Darf ich durch x teilen?
Nein, das kann Lösungen verlieren; x-Terme werden stattdessen addiert oder subtrahiert.
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