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Polynomdivision-Rechner

Tragen Sie die Koeffizienten von Zähler und Nenner ab der höchsten Potenz ein. Der Rechner liefert Quotient und Rest und zeigt, ob die Division ohne Rest aufgeht.

Ihre Polynome
Von der höchsten Potenz abwärts, getrennt durch Semikolon. x³ − 6x² + 11x − 6 schreiben Sie als 1; -6; 11; -6.
Ebenso. x − 1 schreiben Sie als 1; -1. Fehlende Potenzen als 0.
Ergebnis

So funktioniert die Polynomdivision

Die Polynomdivision funktioniert wie das schriftliche Dividieren von Zahlen. Sie teilen den höchsten Term des Zählers durch den höchsten Term des Nenners, multiplizieren das Ergebnis mit dem ganzen Nenner, ziehen es vom Zähler ab und wiederholen den Vorgang mit dem Rest, bis dessen Grad kleiner als der des Nenners ist.

Das Ergebnis besteht aus dem Quotienten und einem Rest. Ist der Rest null, geht die Division auf, und der Nenner ist ein Teiler des Zählers. Dann lässt sich der Zähler als Produkt aus Nenner und Quotient schreiben. Andernfalls erhalten Sie die Form Quotient plus Rest durch Nenner.

Besonders wichtig ist die Methode beim Lösen von Gleichungen höheren Grades. Haben Sie eine Nullstelle erraten, spalten Sie mit der Polynomdivision den zugehörigen Linearfaktor ab. Übrig bleibt ein Polynom niedrigeren Grades, das Sie mit der pq-Formel oder der abc-Formel lösen.

Z(x)=N(x)⋅Q(x)+R(x),grad⁡R<grad⁡NZ(x) = N(x)\cdot Q(x) + R(x), \qquad \operatorname{grad} R < \operatorname{grad} NZ(x)N(x)=Q(x)+R(x)N(x)\frac{Z(x)}{N(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{N(x)}

Beispiel: Wird x³ − 6x² + 11x − 6 durch x − 1 geteilt, ergibt sich x², dann −5x, dann 6, also der Quotient x² − 5x + 6 ohne Rest. Dieser Quotient lässt sich mit der pq-Formel weiter zerlegen. Damit gilt x³ − 6x² + 11x − 6 = (x − 1)(x − 2)(x − 3).(x3−6x2+11x−6):(x−1)=x2−5x+6\left(x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6\right) : (x - 1) = x^{2} - 5x + 6

Hinweise zur Eingabe

Tragen Sie wirklich alle Potenzen ein, auch die fehlenden mit dem Koeffizienten 0. Das Polynom x³ + 2 hat die Koeffizienten 1; 0; 0; 2. Lässt man die Nullen weg, entsteht ein anderes Polynom, und das Ergebnis ist falsch.

Zum Erraten einer Nullstelle probieren Sie die Teiler des Absolutglieds. Bei x³ − 6x² + 11x − 6 sind das ±1, ±2, ±3 und ±6. Setzen Sie die Kandidaten ein, bis Null herauskommt. Der Nullstellenrechner dieser Seite findet reelle Nullstellen auch automatisch.

Ein weiteres Beispiel: x² + 1 geteilt durch x − 1 ergibt x + 1 mit dem Rest 2, also x + 1 + 2 ÷ (x − 1). Die Probe lautet (x − 1)(x + 1) + 2 = x² − 1 + 2 = x² + 1. Der Rest hat immer einen kleineren Grad als der Nenner.

Tipps und typische Fehler

Polynome sicher teilen.

  • Alle Potenzen eintragen: Fehlende mit 0.
  • Reihenfolge: Von der höchsten Potenz abwärts.
  • Nullstelle raten: Teiler des Absolutglieds probieren.
  • Probe: Nenner mal Quotient plus Rest ergibt den Zähler.

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  • Polynomdivision online
  • Polynomdivision berechnen
  • Polynome dividieren
  • Linearfaktor abspalten
  • Polynomdivision mit Rest
  • Division von Polynomen

Häufige Fragen

Wie funktioniert die Polynomdivision?

Wie schriftliches Teilen: höchste Terme dividieren, mit dem Nenner multiplizieren, abziehen, wiederholen.

Wann geht die Division ohne Rest auf?

Wenn der Nenner ein Teiler des Zählers ist, etwa wenn x − a eine Nullstelle a des Zählers abspaltet.

Wie gebe ich fehlende Potenzen ein?

Mit dem Koeffizienten 0, damit jede Potenz einen Platz hat.

Wofür brauche ich die Polynomdivision?

Vor allem zum Lösen von Gleichungen höheren Grades, nachdem eine Nullstelle erraten wurde.

Was ist der Rest einer Polynomdivision?

Das Polynom, das übrig bleibt und einen kleineren Grad als der Nenner hat.

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