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Scheitelpunkt-Rechner: Scheitelform einer Parabel

Tragen Sie die Koeffizienten Ihrer quadratischen Funktion ein, der Rechner bestimmt den Scheitelpunkt. Er gibt auch die Scheitelform, die Öffnungsrichtung und die Zahl der Nullstellen an.

Ihre Funktion: f(x) = a·x² + b·x + c
Darf nicht 0 sein. Positiv öffnet die Parabel nach oben.
Mit Vorzeichen.
Der Schnittpunkt mit der y-Achse.
Ergebnis

So bestimmen Sie den Scheitelpunkt

Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel. Bei positivem a liegt dort das Minimum, bei negativem a das Maximum. Er ist wichtig für Extremwertaufgaben, etwa wenn ein Gewinn maximal oder ein Materialverbrauch minimal werden soll.

Die x-Koordinate lässt sich direkt aus den Koeffizienten berechnen, die y-Koordinate erhalten Sie durch Einsetzen. Die Scheitelform f(x) = a(x − d)² + e zeigt den Scheitelpunkt (d | e) unmittelbar. Sie entsteht durch quadratische Ergänzung, der Rechner übernimmt diesen Schritt.

x-Koordinate d = −b ÷ (2a)
y-Koordinate e = c − b² ÷ (4a)
Scheitelform: f(x) = a · (x − d)² + e

Beispiel: Für f(x) = x² − 4x + 3 gilt d = 4 ÷ 2 = 2 und e = 3 − 16 ÷ 4 = −1. Der Scheitelpunkt ist (2 | −1), die Scheitelform lautet f(x) = (x − 2)² − 1. Die Parabel öffnet nach oben, schneidet die y-Achse bei 3 und hat zwei Nullstellen.

Was die Koeffizienten bedeuten

Der Betrag von a bestimmt die Form: Bei |a| größer als 1 ist die Parabel schmaler als die Normalparabel, bei |a| kleiner als 1 breiter. Das Vorzeichen legt die Öffnungsrichtung fest. Der Wert c verschiebt die Kurve nach oben oder unten und ist der Schnittpunkt mit der y-Achse.

Liegt der Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse und die Parabel öffnet nach oben, gibt es keine Nullstelle. Sie können das mit dem Nullstellen-Rechner prüfen oder die Gleichung mit der pq- oder abc-Formel lösen.

Anwendungen der Scheitelform

Die Scheitelform ist besonders praktisch für Extremwertaufgaben. Wird zum Beispiel der Gewinn eines Betriebs durch eine nach unten geöffnete Parabel beschrieben, liefert der Scheitelpunkt die Absatzmenge mit dem höchsten Gewinn und den Gewinn selbst. Ebenso ergibt sich bei einem Wurf die maximale Höhe und der Zeitpunkt, an dem sie erreicht wird.

Auch das Verschieben von Parabeln lässt sich an der Scheitelform ablesen. Der Wert d verschiebt die Normalparabel nach rechts, der Wert e nach oben. Zusammen mit dem Faktor a ergibt sich so jede beliebige Parabel.

Prüfen Sie das Ergebnis mit einer Skizze: Der Scheitelpunkt muss auf der Symmetrieachse x = d liegen, und die Nullstellen liegen symmetrisch dazu. Mit der Scheitelform können Sie die Funktion außerdem leicht um eine Einheit verschieben oder strecken, um Aufgaben zur Transformation zu lösen.

Tipps und typische Fehler

Parabeln verstehen.

  • Vorzeichen von a: Es entscheidet über Minimum oder Maximum.
  • Scheitelform nutzen: Sie zeigt Verschiebung und Streckung.
  • Extremwerte: Der Scheitelpunkt liefert Höchst- oder Tiefstwert.
  • Symmetrie: Die Parabel ist spiegelsymmetrisch zur Achse durch den Scheitel.

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Häufige Fragen

Wie berechne ich den Scheitelpunkt?

Die x-Koordinate ist −b ÷ (2a). Setzen Sie sie in f(x) ein, dann erhalten Sie die y-Koordinate.

Was ist die Scheitelform?

Die Schreibweise f(x) = a(x − d)² + e, aus der Sie den Scheitelpunkt (d | e) direkt ablesen.

Wann hat die Parabel ein Maximum?

Wenn a negativ ist. Dann öffnet sie nach unten, und der Scheitelpunkt ist der höchste Punkt.

Wie forme ich in die Scheitelform um?

Mit quadratischer Ergänzung oder über d = −b/(2a) und e = f(d).

Was ist der Scheitelpunkt?

Der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel.

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