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Rechner für komplexe Zahlen

Tragen Sie zwei komplexe Zahlen als Real- und Imaginärteil ein und wählen Sie die Rechenart. Der Rechner liefert das Ergebnis mit Betrag, Argument und Polarform.

Ihre komplexen Zahlen z₁ und z₂
Ergebnis

So rechnen Sie mit komplexen Zahlen

Komplexe Zahlen erweitern die reellen Zahlen um die imaginäre Einheit i mit der Eigenschaft i² = −1. Jede komplexe Zahl schreibt sich als z = a + b·i mit dem Realteil a und dem Imaginärteil b. Sie entsprechen Punkten oder Zeigern in der Gaußschen Zahlenebene.

Addition und Subtraktion erfolgen getrennt nach Real- und Imaginärteil. Bei der Multiplikation multiplizieren Sie aus und ersetzen i² durch −1. Die Division gelingt, indem Sie Zähler und Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweitern, sodass der Nenner reell wird.

Der Betrag |z| ist der Abstand zum Ursprung, das Argument φ der Winkel zur positiven reellen Achse. Mit beiden schreiben Sie z in Polarform. Dort wird das Multiplizieren besonders einfach: Beträge werden multipliziert und Winkel addiert.

(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc) i(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)\,i∣z∣=a2+b2,z=∣z∣ (cos⁡φ+isin⁡φ)|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}, \qquad z = |z|\,(\cos\varphi + i\sin\varphi)

Beispiel: Für z₁ = 3 + 4i und z₂ = 1 − 2i gilt z₁ · z₂ = 3 − 6i + 4i − 8i² = 11 − 2i. Der Betrag ist √125 ≈ 11,18. Die Division ergibt (3 + 4i)(1 + 2i) ÷ 5 = (−5 + 10i) ÷ 5 = −1 + 2i, die Summe ist 4 + 2i und die Differenz 2 + 6i.(3+4i)(1−2i)=3−6i+4i−8i2=11−2i(3 + 4i)(1 - 2i) = 3 - 6i + 4i - 8i^{2} = 11 - 2i

Wozu komplexe Zahlen gut sind

Komplexe Zahlen lösen Gleichungen, die in den reellen Zahlen keine Lösung haben. So hat x² + 1 = 0 die Lösungen i und −i. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat jedes Polynom vom Grad n genau n komplexe Nullstellen, wenn man sie mit Vielfachheit zählt.

In der Elektrotechnik beschreiben komplexe Zahlen Wechselströme und Impedanzen. Ein Widerstand wird zur reellen, eine Spule oder ein Kondensator zur imaginären Größe. Die Signalverarbeitung und die Quantenmechanik stützen sich ebenfalls darauf.

Beachten Sie bei der Division, dass der Nenner nicht null sein darf. Der Rechner meldet dann einen Fehler. Das Argument liegt zwischen −180 und 180 Grad. Eine negative reelle Zahl hat das Argument 180 Grad, eine rein imaginäre positive Zahl 90 Grad.

Tipps und typische Fehler

Komplex rechnen.

  • i² = −1: Beim Ausmultiplizieren ersetzen.
  • Division: Mit der konjugiert komplexen Zahl erweitern.
  • Polarform: Beträge multiplizieren, Winkel addieren.
  • Nenner nicht null: z₂ darf bei Division nicht 0 sein.

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Häufige Fragen

Was ist die imaginäre Einheit i?

Die Zahl mit i² = −1. Sie ist die Grundlage der komplexen Zahlen.

Wie dividiere ich komplexe Zahlen?

Zähler und Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweitern, damit der Nenner reell wird.

Was ist der Betrag einer komplexen Zahl?

Der Abstand zum Ursprung in der Zahlenebene, |a + bi| = √(a² + b²).

Was ist die konjugiert komplexe Zahl?

Zu a + bi ist es a − bi. Das Produkt beider ist reell: a² + b².

Wie rechne ich in die Polarform um?

Betrag √(a² + b²) und Winkel atan2(b, a) berechnen, dann z = r · (cos φ + i · sin φ).

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