Kreisrechner: Umfang, Fläche, Bogen und Sektor

Die Kreisformeln im Überblick

Ein Kreis ist durch seinen Radius vollständig festgelegt. Aus ihm folgen der Durchmesser als doppelter Radius, der Umfang und der Flächeninhalt. Die Kreiszahl π, ungefähr 3,14159, verbindet alle diese Größen.

Teile des Kreises berechnen Sie über den Mittelpunktswinkel α. Der Kreisbogen ist der Anteil α ÷ 360° am Umfang, der Kreissektor der gleiche Anteil an der Fläche. Die Sehne verbindet die beiden Endpunkte des Bogens mit einer Geraden, das Segment ist die Fläche zwischen Sehne und Bogen.

Sind Umfang oder Fläche gegeben, stellt der Rechner die Formeln um. Aus dem Umfang folgt r = U ÷ 2π, aus der Fläche r = √(A ÷ π). Alle Längen haben die Einheit Ihrer Eingabe, Flächen die entsprechende Quadrateinheit.

$U = 2\pi r, \qquad A = \pi r^{2}$ $b = \frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r, \qquad A_{\text{Sektor}} = \frac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi r^{2}$ $s = 2r\sin\frac{\alpha}{2}, \qquad A_{\text{Segment}} = \frac{r^{2}}{2}\,(\alpha - \sin\alpha)$

Beispiel: Bei r = 5 und α = 90° ist U = 2π · 5 ≈ 31,4159 und A = π · 25 ≈ 78,5398. Der Bogen misst 7,854, der Sektor 19,635, die Sehne 7,071 und das Segment 7,135. Das Segment ist der Sektor minus das Dreieck mit der Fläche 12,5.

r = 5,\ \alpha = 90^\circ:\quad U = 10\pi \approx 31{,}42,\quad A = 25\pi \approx 78{,}54

Anwendungsbeispiele

Kreisformeln begegnen Ihnen im Alltag ständig: bei der Größe einer Pizza, dem Fassungsvermögen eines Rohres oder der Strecke, die ein Rad pro Umdrehung zurücklegt. Der Radumfang ist die Strecke pro Umdrehung, und aus ihm folgt die Anzahl der Umdrehungen für eine bestimmte Wegstrecke.

Beachten Sie, dass die Fläche quadratisch mit dem Radius wächst. Verdoppeln Sie den Radius, vervierfacht sich die Fläche, während der Umfang nur doppelt so groß wird. Deshalb hat eine Pizza mit 40 Zentimetern Durchmesser genau die vierfache Fläche einer Pizza mit 20 Zentimetern.

Für Winkelangaben im Bogenmaß rechnen Sie zuerst um: 180 Grad entsprechen π. Der Winkelrechner dieser Seite erledigt die Umrechnung und zeigt Sinus und Kosinus. Mit dem Radius und dem Bogenmaß ist die Bogenlänge einfach b = α · r.

Für Aufgaben mit Ringen oder Kreisausschnitten bilden Sie Differenzen. Die Fläche eines Kreisrings mit Außenradius R und Innenradius r ist π · (R² − r²). Das ist praktisch bei Rohren, Unterlegscheiben oder Gartenwegen um ein rundes Beet.

Tipps und typische Fehler

Kreise sicher berechnen.

Radius oder Durchmesser: Nicht verwechseln, der Durchmesser ist doppelt so groß.
Fläche wächst quadratisch: Doppelter Radius ergibt vierfache Fläche.
Winkel in Grad: Für Bogen und Sektor von 0 bis 360.
Einheiten: Fläche in Quadrateinheiten angeben.

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Häufige Fragen

Wie berechne ich die Kreisfläche?

A = π · r². Ist der Durchmesser gegeben, teilen Sie ihn zuerst durch 2.

Wie berechne ich den Radius aus dem Umfang?

r = U ÷ (2π). Bei U = 31,4159 ist r = 5.

Was ist ein Kreissegment?

Die Fläche zwischen einer Sehne und dem zugehörigen Kreisbogen.

Wie berechne ich den Kreisumfang?

U = 2 · π · r oder U = π · d.

Wie berechne ich einen Kreisbogen?

b = α ÷ 360° · 2 · π · r mit dem Mittelpunktswinkel α in Grad.

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