Volumen und Oberfläche berechnen: Körperrechner

Die Körperformeln

Bei jedem Körper unterscheidet man das Volumen, also den Rauminhalt, und die Oberfläche, die Summe aller begrenzenden Flächen. Die Mantelfläche ist die Oberfläche ohne Grund- und Deckfläche. Ob Sie Liter, Kubikmeter oder Kubikzentimeter erhalten, hängt nur von Ihrer Längeneinheit ab.

Zylinder und Kegel gehören zusammen: Das Volumen eines Kegels ist genau ein Drittel des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe. Dasselbe gilt für die Pyramide im Vergleich zum Quader. Die Kugel hat die kompakteste Form: Bei gegebenem Volumen hat sie die kleinste Oberfläche aller Körper.

Für Kegel und Pyramide braucht die Mantelfläche die Länge der schrägen Seite. Beim Kegel ist das die Mantellinie s = √(r² + h²), bei der Pyramide die Seitenhöhe s = √(h² + (a ÷ 2)²). Der Rechner bestimmt beide automatisch mit dem Satz des Pythagoras.

$\text{Zylinder: } V = \pi r^{2} h, \qquad O = 2\pi r\,(r + h)$ $\text{Kugel: } V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3}, \qquad O = 4\pi r^{2}$ $\text{Kegel: } V = \tfrac{1}{3}\pi r^{2} h, \qquad O = \pi r\,(r + s)$ $\text{Quader: } V = abc, \qquad \text{Pyramide: } V = \tfrac{1}{3}a^{2}h$

Beispiel: Ein Zylinder mit r = 3 und h = 5 hat das Volumen π · 9 · 5 ≈ 141,37 und die Oberfläche 2π · 3 · 8 ≈ 150,80, davon 94,25 Mantelfläche. Ein Kegel mit r = 3 und h = 4 hat die Mantellinie 5, das Volumen 37,70 und die Oberfläche 75,40.

V_{\text{Zylinder}} = \pi\cdot 3^{2}\cdot 5 \approx 141{,}37, \qquad s_{\text{Kegel}} = \sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5

Praktische Hinweise

Rechnen Sie alle Maße zuerst in dieselbe Einheit um. Wer Radius in Zentimetern und Höhe in Metern mischt, erhält ein unbrauchbares Ergebnis. Für Fassungsvermögen gilt: 1 Kubikdezimeter entspricht 1 Liter, und 1.000 Liter sind ein Kubikmeter.

Bei einem Zylinder wie einem Wassertank hilft die Volumenformel, den Füllstand in Litern zu berechnen. Mit der Oberfläche schätzen Sie den Materialbedarf für Farbe oder Blech ab. Bedenken Sie dabei, dass ein oben offener Behälter keine Deckfläche hat und die Oberfläche entsprechend kleiner ist.

Die Kugel mit r = 2 hat das Volumen 33,51 und die Oberfläche 50,27. Der Quader mit den Kanten 2, 3 und 4 hat das Volumen 24, die Oberfläche 52 und eine Raumdiagonale von √29 ≈ 5,385. Die quadratische Pyramide mit a = 6 und h = 4 hat das Volumen 48 und die Oberfläche 96.

Tipps und typische Fehler

Körper sicher berechnen.

Einheiten angleichen: Alle Maße in dieselbe Einheit umrechnen.
Liter: 1 Kubikdezimeter sind 1 Liter.
Offene Behälter: Deckfläche abziehen.
Kegel und Pyramide: Ein Drittel von Zylinder beziehungsweise Quader.

Weitere Rechner: Mathe & Formeln

Alle Rechner dieser Kategorie oder alle Rechner A–Z.

Auch gesucht als

Dieser Rechner hilft bei diesen und ähnlichen Fragen:

Volumen berechnen
Oberfläche berechnen
Zylinder Volumen Rechner
Kegel Volumen Rechner
Kugel Volumen Rechner
Pyramide Volumen Rechner

Häufige Fragen

Wie berechne ich das Volumen eines Zylinders?

V = π · r² · h, also Grundfläche mal Höhe.

Was ist die Mantelfläche?

Die gekrümmte oder seitliche Fläche eines Körpers ohne Grund- und Deckfläche.

Warum ist der Kegel ein Drittel des Zylinders?

Bei gleicher Grundfläche und Höhe passt er dreimal in den Zylinder. Das zeigt die Integralrechnung.

Wie berechne ich das Kugelvolumen?

V = 4/3 · π · r³. Bei r = 2 ergibt das etwa 33,51.

Wie berechne ich die Mantelfläche eines Kegels?

M = π · r · s mit der Mantellinie s = √(r² + h²).

Alle Berechnungen erfolgen direkt in Ihrem Browser, Ihre Eingaben werden nicht übertragen oder gespeichert. Die Ergebnisse sind Orientierungswerte ohne Gewähr und ersetzen keine steuerliche, rechtliche oder finanzielle Beratung. Letzte inhaltliche Änderung dieser Seite: 02.10.2026. Mehr dazu: So entstehen und prüfen wir die Rechner.