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Folgen- und Reihenrechner

Wählen Sie die Art der Folge und tragen Sie erstes Glied, Differenz oder Faktor und die Gliederzahl ein. Sie erhalten das n-te Glied, die Teilsumme und den Wert der unendlichen Reihe.

Ihre Folge
Das Startglied der Folge.
Arithmetisch: die Differenz d. Geometrisch: der Faktor q.
Ganze Zahl von 1 bis 1000.
Ergebnis

Arithmetische und geometrische Folgen

Eine Folge ist eine Liste von Zahlen nach einer festen Regel. Bei einer arithmetischen Folge unterscheiden sich benachbarte Glieder immer um dieselbe Differenz d. Beispiele sind ein Sparplan mit gleichbleibender Einzahlung oder Treppenstufen mit gleicher Höhe.

Bei einer geometrischen Folge entsteht jedes Glied aus dem vorherigen durch Multiplikation mit demselben Faktor q. Das beschreibt Wachstum und Zerfall, etwa Zinseszins, Bakterienvermehrung oder radioaktiven Zerfall. Für |q| unter 1 werden die Glieder immer kleiner.

Die Summe der ersten n Glieder heißt Reihe oder Teilsumme. Bei der arithmetischen Folge nutzte schon der junge Gauß den Trick, erstes und letztes Glied zu paaren. Bei der geometrischen Folge liefert die Summenformel die Teilsumme, und für |q| kleiner 1 konvergiert sogar die unendliche Reihe.

an=a1+(n−1) d,Sn=n2 (a1+an)a_n = a_1 + (n-1)\,d, \qquad S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n)an=a1⋅q n−1,Sn=a1⋅qn−1q−1,S∞=a11−q  (∣q∣<1)a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}, \qquad S_n = a_1\cdot\frac{q^{n}-1}{q-1}, \qquad S_\infty = \frac{a_1}{1-q}\ \ (|q|<1)

Beispiel: Die arithmetische Folge mit a₁ = 3 und d = 4 hat als zehntes Glied 3 + 9 · 4 = 39. Die Summe der ersten zehn Glieder beträgt 10 ÷ 2 · (3 + 39) = 210. Die geometrische Folge mit a₁ = 2 und q = 3 hat als fünftes Glied 2 · 3⁴ = 162 und die Summe 2 · (243 − 1) ÷ 2 = 242.S10=102 (3+39)=210,S5=2⋅35−13−1=242S_{10} = \frac{10}{2}\,(3 + 39) = 210, \qquad S_5 = 2\cdot\frac{3^{5}-1}{3-1} = 242

Hinweise zur Anwendung

Achten Sie auf die Zählung: Das erste Glied hat den Index 1, daher kommt der Exponent n − 1 bei der geometrischen Folge und der Faktor n − 1 bei der arithmetischen. Wer bei null zu zählen beginnt, verschiebt alle Werte um ein Glied.

Die unendliche Reihe existiert nur, wenn der Betrag von q kleiner als 1 ist. Bei q = 0,5 und a₁ = 1 nähern sich die Teilsummen der 2, genau wie die Formel 1 ÷ (1 − 0,5) verspricht. Bei |q| von 1 an wachsen die Teilsummen dagegen über alle Grenzen, die Reihe divergiert.

Für Finanzfragen passt die geometrische Folge: Ein Kapital von 1.000 Euro bei 3 Prozent Zins entspricht a₁ = 1.000 und q = 1,03. Das Glied a₁₁ ist dann das Kapital nach zehn Jahren. Der Rechner zeigt zusätzlich die ersten sechs Glieder, damit Sie die Entwicklung auf einen Blick prüfen.

Tipps und typische Fehler

Folgen richtig lesen.

  • Index beachten: Das erste Glied hat die Nummer 1.
  • Faktor q prüfen: Nur bei |q| unter 1 konvergiert die Reihe.
  • Arithmetisch: Gleiche Differenz zwischen den Gliedern.
  • Geometrisch: Gleicher Faktor, typisch bei Zinseszins.

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  • arithmetische Folge Rechner
  • geometrische Folge Rechner
  • Reihe berechnen
  • Summenformel Rechner
  • Folgen und Reihen
  • n-tes Glied berechnen

Häufige Fragen

Wie berechne ich das n-te Glied?

Arithmetisch aₙ = a₁ + (n − 1) · d, geometrisch aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹.

Wann konvergiert eine geometrische Reihe?

Wenn der Betrag des Faktors q kleiner als 1 ist. Dann gilt S∞ = a₁ ÷ (1 − q).

Was ist die Gaußsche Summenformel?

Sₙ = n ÷ 2 · (a₁ + aₙ) für arithmetische Folgen, zum Beispiel 1 + 2 + … + 100 = 5050.

Was ist der Unterschied zwischen Folge und Reihe?

Eine Folge ist eine Liste von Zahlen, eine Reihe die Summe ihrer Glieder.

Wie berechne ich die Summe einer geometrischen Reihe?

Sₙ = a₁ · (qⁿ − 1) ÷ (q − 1), bei q = 1 einfach n · a₁.

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