Schritte der Kurvendiskussion
Die Kurvendiskussion untersucht eine Funktion systematisch auf ihre wichtigen Eigenschaften: Definitionsbereich, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen, Extrempunkte, Wendepunkte und das Verhalten für sehr große und sehr kleine x. Bei ganzrationalen Funktionen, also Polynomen, ist der Definitionsbereich immer ganz ℝ, und die übrigen Punkte lassen sich über die Ableitungen bestimmen.
Der Rechner deckt Polynome bis zum Grad 4 ab, wie sie im Mathematikunterricht der Oberstufe üblich sind. Er bildet die erste und zweite Ableitung, sucht die Nullstellen von f, f′ und f″ und prüft jeweils den Vorzeichenwechsel. So unterscheidet er Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte und Sattelpunkte zuverlässig, auch wenn die zweite Ableitung an einer Stelle null ist.
Mehrfache Nullstellen werden gekennzeichnet. An einer doppelten Nullstelle berührt der Graph die x-Achse nur, ohne sie zu schneiden; dort liegt zugleich ein Extrempunkt. An einer dreifachen Nullstelle schneidet der Graph die Achse mit waagerechter Tangente, es entsteht ein Sattelpunkt.
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Symmetrie lässt sich bei Polynomen direkt an den Exponenten ablesen. Kommen nur gerade Potenzen von x vor, einschließlich des Absolutglieds, ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. Kommen nur ungerade Potenzen vor, ist er punktsymmetrisch zum Ursprung. Gemischte Potenzen bedeuten keine dieser beiden Symmetrien, auch wenn der Graph um einen anderen Punkt symmetrisch sein kann, wie jede kubische Funktion um ihren Wendepunkt.
Das Verhalten im Unendlichen bestimmt allein der Summand mit der höchsten Potenz. Bei geradem Grad und positivem Leitkoeffizienten steigt der Graph auf beiden Seiten nach oben, bei ungeradem Grad und positivem Leitkoeffizienten kommt er von unten links und verläuft nach oben rechts. Ein negativer Leitkoeffizient kehrt das Verhalten jeweils um.
Die Nullstellen werden numerisch über Monotonieintervalle bestimmt und auf vier Nachkommastellen gerundet. Für Klausuren sollten Sie exakte Werte wie √2 oder Brüche selbst herleiten, etwa durch Ausklammern, Substitution bei biquadratischen Gleichungen oder Polynomdivision. Der Rechner eignet sich gut, um die eigene Lösung zu kontrollieren.
Für einzelne Schritte helfen weitere Rechner: Ableitungen beliebiger Funktionen bildet der Ableitungsrechner, Nullstellen findet der Nullstellen-Rechner, und die Gleichung der Tangente in einem Punkt liefert der Tangentengleichung-Rechner. Zeichnen Sie den Graphen zur Kontrolle mit einer Wertetabelle, dann erkennen Sie schnell, ob Extrempunkte und Wendepunkte plausibel liegen.
Tipps und typische Fehler
Funktionen untersuchen.
- Ableitungen: Zuerst bilden.
- Vorzeichenwechsel: Prüfen.
- Symmetrie: An Exponenten ablesen.
- Skizze: Zur Kontrolle.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Was gehört zu einer Kurvendiskussion?
Definitionsbereich, Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Extrempunkte, Wendepunkte und Verhalten im Unendlichen.
Wie erkenne ich einen Sattelpunkt?
f′(x) = 0 und f″(x) = 0 mit Vorzeichenwechsel von f″; die Tangente ist dort waagerecht.
Bis zu welchem Grad rechnet der Rechner?
Für ganzrationale Funktionen bis Grad 4.
Was ist der Unterschied zwischen Wendepunkt und Sattelpunkt?
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, also f′ = 0.
Wie viele Extrempunkte kann ein Polynom vierten Grades haben?
Höchstens drei, weil die Ableitung höchstens drei Nullstellen hat.
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