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Mathe & Formeln

Tangentengleichung berechnen

Tragen Sie die Koeffizienten der Funktion f(x) = ax³ + bx² + cx + d und die Stelle x₀ ein. Der Rechner bestimmt Tangente und Normale.

Ihre Funktion
Ergebnis

Die Tangente an einen Funktionsgraphen

Eine Tangente berührt den Graphen einer Funktion in einem Punkt und hat dort dieselbe Steigung wie die Funktion. Sie ist die beste lineare Näherung an die Kurve in der Nähe dieses Punkts. In der Schule gehört die Tangentengleichung zu den Standardaufgaben der Differenzialrechnung.

Für die Berechnung braucht man zwei Dinge: den Funktionswert f(x₀), also den Berührpunkt, und die Ableitung f′(x₀), also die Steigung. Die Tangente hat dann die Gleichung y = m × x + n mit m = f′(x₀) und n = f(x₀) − m × x₀. Der Rechner erledigt beide Schritte für Polynome bis zum dritten Grad.

Zusätzlich zeigt er die Normale, die im Berührpunkt senkrecht auf der Tangente steht. Ihre Steigung ist der negative Kehrwert der Tangentensteigung. Ist die Tangente waagerecht, verläuft die Normale senkrecht und hat die Gleichung x = x₀.

m=f′ (x0)=3 a x02+2 b x0+c; n=f (x0)−m×x0; Tangente: y=m x+n; Normale: y=−1⋅(x−x0)m+f (x0)m = f'\,\left(x_{0}\right) = 3\,\text{a x}_{0}^{2} + 2\,\text{b x}_{0} + c;\ n = f\,\left(x_{0}\right) - m \times x_{0};\ \text{Tangente}:\ y = \text{m x} + n;\ \text{Normale}:\ y = -\frac{1 \cdot \left(x - x_{0}\right)}{m} + f\,\left(x_{0}\right)

Beispiel: f(x) = x² an der Stelle x₀ = 2: Berührpunkt P(2 | 4), Steigung 4, Tangente y = 4x − 4, Steigungswinkel 75,96 Grad, Normale y = −0,25x + 4,5.

Tipps für Aufgaben und Kontrolle

Prüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie x₀ in die Tangentengleichung einsetzen. Es muss derselbe y-Wert herauskommen wie bei der Funktion. Im Beispiel ergibt 4 × 2 − 4 genau 4, also f(2). Stimmt das nicht, liegt der Fehler meist beim Achsenabschnitt n.

Für Funktionen niedrigeren Grades setzen Sie die nicht benötigten Koeffizienten auf null. Eine Parabel f(x) = 2x² − 3x + 1 geben Sie mit a = 0, b = 2, c = −3 und d = 1 ein. Bei einer Geraden ist die Tangente die Gerade selbst, was der Rechner ebenfalls korrekt anzeigt.

Häufige Aufgaben fragen auch umgekehrt: An welcher Stelle hat die Funktion eine bestimmte Steigung, oder wo ist die Tangente waagerecht? Dafür setzen Sie die Ableitung gleich dem gewünschten Wert und lösen die Gleichung. Waagerechte Tangenten liegen an Hoch-, Tief- oder Sattelpunkten. Die Ableitung beliebiger Funktionen zeigt der Ableitungsrechner.

Der Steigungswinkel gibt an, wie steil die Tangente gegenüber der x-Achse ansteigt. Er ist der Arkustangens der Steigung. Eine Steigung von 1 entspricht 45 Grad. Für Geraden durch zwei Punkte eignet sich der Geradengleichung-Rechner, für Nullstellen der Nullstellen-Rechner.

Tipps und typische Fehler

Tangenten sicher bestimmen.

  • Ableitung: Zuerst bilden.
  • Punkt: f(x₀) berechnen.
  • Probe: x₀ einsetzen.
  • Normale: −1 ÷ m.

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Häufige Fragen

Wie berechne ich eine Tangentengleichung?

Steigung m = f′(x₀), dann n = f(x₀) − m × x₀ und y = mx + n.

Was ist eine Normale?

Die Gerade, die im Berührpunkt senkrecht auf der Tangente steht.

Funktioniert der Rechner auch für Parabeln?

Ja, setzen Sie den Koeffizienten vor x³ auf 0.

Wann ist eine Tangente waagerecht?

Wenn die Ableitung an der Stelle null ist.

Was ist die Punkt-Steigungs-Form?

y = f′(x₀) × (x − x₀) + f(x₀).

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