Exponentielles Wachstum aus zwei Messwerten
Exponentialfunktionen beschreiben Vorgänge, bei denen sich eine Größe in gleichen Schritten immer um denselben Faktor ändert. Beispiele sind Zinseszins, Bevölkerungswachstum, die Vermehrung von Bakterien oder der radioaktive Zerfall. Die allgemeine Form lautet f(x) = a · bˣ. Dabei ist a der Anfangswert und b der Wachstumsfaktor.
Durch zwei Punkte mit positiven y-Werten verläuft genau eine solche Funktion. Der Rechner berechnet daraus den Wachstumsfaktor, den Anfangswert, die prozentuale Änderung je Schritt und die Wachstumskonstante k für die Schreibweise mit der eulerschen Zahl. Zusätzlich zeigt er die Verdopplungszeit bei Wachstum oder die Halbwertszeit bei Abnahme.
Im Beispiel wächst ein Wert von 100 in drei Schritten auf 133,1. Das entspricht einem Faktor von 1,1, also zehn Prozent Wachstum je Schritt. Nach zehn Schritten ist der Wert auf 259,37 gestiegen, und verdoppelt hat er sich nach gut 7,27 Schritten.
Exponentialfunktionen richtig deuten
Ist der Wachstumsfaktor b größer als 1, wächst die Funktion; liegt er zwischen 0 und 1, nimmt sie ab. Die prozentuale Änderung ist (b − 1) × 100. Ein Faktor von 0,5 bedeutet, dass sich der Wert je Schritt halbiert, die Änderung beträgt dann minus 50 Prozent. Die Halbwertszeit ist in diesem Fall genau ein Schritt.
Die Einheit der x-Werte bestimmt die Einheit der Verdopplungszeit. Messen Sie x in Jahren, ist auch die Verdopplungszeit in Jahren angegeben. Bei Tagen oder Stunden gilt dasselbe. Achten Sie darauf, dass beide Punkte in derselben Einheit vorliegen, sonst stimmt der Wachstumsfaktor nicht.
Exponentialfunktionen können keine negativen Werte und keine Null annehmen. Deshalb verlangt der Rechner positive y-Werte. Liegen Messwerte vor, die um einen festen Wert schwanken oder sich einer Grenze nähern, passt eher eine andere Funktion, etwa beschränktes oder logistisches Wachstum.
Reale Daten folgen selten exakt einer Formel. Zwei Punkte legen die Kurve zwar eindeutig fest, aber Prognosen weit über den Messbereich hinaus sind unsicher. Für Zerfallsprozesse eignet sich der Halbwertszeit-Rechner, für Logarithmen der Logarithmus-Rechner und für Wachstum über mehrere Perioden der Wachstumsrechner.
Tipps und typische Fehler
Wachstum beschreiben.
- Einheit: x einheitlich.
- Positiv: y größer 0.
- Faktor: Über 1 Wachstum.
- Prognose: Vorsichtig nutzen.
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Häufige Fragen
Wie bestimme ich eine Exponentialfunktion aus zwei Punkten?
b = (y₂ ÷ y₁) hoch 1 ÷ (x₂ − x₁), danach a = y₁ ÷ b^x₁.
Warum müssen die y-Werte positiv sein?
Eine Exponentialfunktion a · bˣ mit a > 0 ist immer positiv.
Was ist die Verdopplungszeit?
Die Zeit, nach der sich der Wert verdoppelt hat: ln 2 ÷ k.
Was ist der Unterschied zwischen b und k?
b ist der Faktor je Schritt, k = ln b die stetige Wachstumsrate.
Wie erkenne ich exponentielles Wachstum?
Die Quotienten aufeinanderfolgender Werte sind gleich.
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