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Horner-Schema online berechnen

Geben Sie die Koeffizienten eines Polynoms und eine Stelle x₀ ein. Der Rechner führt das Horner-Schema durch und zeigt Funktionswert, Quotientenpolynom und Rest.

Polynom und Stelle
Koeffizienten von der höchsten Potenz bis zum Absolutglied, getrennt durch Semikolon oder Leerzeichen. Fehlende Potenzen als 0 eintragen, zum Beispiel 2; −3; 0; 5 für 2x³ − 3x² + 5.
Bei einer vermuteten Nullstelle zeigt der Rest 0, dass sich der Linearfaktor (x − x₀) abspalten lässt.
Ergebnis

Was das Horner-Schema leistet

Das Horner-Schema ist ein Rechenverfahren, mit dem sich der Wert eines Polynoms an einer Stelle x₀ mit wenigen Multiplikationen bestimmen lässt. Statt jede Potenz einzeln auszurechnen, wird das Polynom geschachtelt ausgewertet. Das spart Rechenarbeit und vermeidet Fehler, besonders bei Polynomen dritten oder vierten Grades, wie sie in der Kurvendiskussion vorkommen.

Gleichzeitig liefert das Schema die Division des Polynoms durch den Linearfaktor (x − x₀). Die Zahlen in der unteren Zeile sind, bis auf den letzten Wert, die Koeffizienten des Quotientenpolynoms. Der letzte Wert ist der Rest und stimmt mit dem Funktionswert p(x₀) überein. Ist er null, ist x₀ eine Nullstelle.

Damit ist das Horner-Schema eine schnelle Alternative zur Polynomdivision. Wer eine Nullstelle durch Probieren gefunden hat, etwa einen ganzzahligen Teiler des Absolutglieds, kann mit dem Schema den Grad des Polynoms um eins verringern und das restliche Polynom zum Beispiel mit der p-q-Formel weiter untersuchen.

Untere Zeile: b0=a0 , bi=bi−1⋅x0+ai; letzter Wert=p (x0)=Rest\text{Untere Zeile}:\ b_{0} = a_{0}\,{,}\ b_{i} = b_{i-1} \cdot x_{0} + a_{i};\ \text{letzter Wert} = p\,\left(x_{0}\right) = \text{Rest}

Beispiel: p(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 an der Stelle x₀ = 2: Der erste Koeffizient 1 wird übernommen, dann 1 · 2 − 6 = −4, −4 · 2 + 11 = 3 und 3 · 2 − 6 = 0. Der Funktionswert ist 0, x = 2 ist also eine Nullstelle. Es gilt p(x) = (x − 2) · (x² − 4x + 3), und das Quotientenpolynom hat die Nullstellen 1 und 3.

Schritt für Schritt zum Ergebnis

Schreiben Sie die Koeffizienten in die obere Zeile, beginnend mit der höchsten Potenz. Fehlende Potenzen müssen als 0 eingetragen werden, sonst verschieben sich alle folgenden Werte. Das Polynom 2x³ − 3x² + 5 hat deshalb die Koeffizienten 2, −3, 0 und 5. Dieser Punkt ist die häufigste Fehlerquelle bei der Rechnung von Hand.

Danach übernehmen Sie den ersten Koeffizienten unverändert in die untere Zeile. Jeder weitere Wert entsteht, indem Sie den letzten Wert der unteren Zeile mit x₀ multiplizieren und das Ergebnis zum nächsten Koeffizienten der oberen Zeile addieren. Die mittlere Zeile mit den Produkten wird in vielen Schulbüchern mitgeschrieben, der Rechner zeigt die untere Zeile als Ergebnis.

Für 2x³ − 3x² + 5 an der Stelle x₀ = −1,5 erhalten Sie die untere Zeile 2, −6, 9 und −8,5. Der Funktionswert ist −8,5, und die Zerlegung lautet p(x) = (x + 1,5) · (2x² − 6x + 9) − 8,5. Der Rest ist hier nicht null, die Stelle ist also keine Nullstelle des Polynoms.

Bei ganzzahligen Koeffizienten kommen als ganzzahlige Nullstellen nur Teiler des Absolutglieds in Frage. Probieren Sie diese Kandidaten nacheinander mit dem Rechner aus. Für die vollständige Division durch Polynome höheren Grades nutzen Sie den Polynomdivision-Rechner, für alle Nullstellen den Nullstellen-Rechner.

Tipps und typische Fehler

Polynome zerlegen.

  • Nullen: Fehlende Potenzen eintragen.
  • Rest 0: Nullstelle gefunden.
  • Teiler: Des Absolutglieds testen.
  • Quotient: Weiter zerlegen.

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Häufige Fragen

Was berechnet das Horner-Schema?

Den Funktionswert eines Polynoms an einer Stelle und gleichzeitig die Division durch den Linearfaktor (x − x₀).

Wie trage ich fehlende Potenzen ein?

Als 0. Für x³ − 2x + 1 lauten die Koeffizienten 1; 0; −2; 1.

Woran erkenne ich eine Nullstelle?

Der letzte Wert der unteren Zeile, also der Rest, ist 0.

Ist das Horner-Schema dasselbe wie die Polynomdivision?

Für Linearfaktoren (x − x₀) liefert es dasselbe Ergebnis, nur kürzer notiert.

Welche Nullstellen probiere ich zuerst?

Bei ganzzahligen Koeffizienten die Teiler des Absolutglieds, positiv und negativ.

Auch gesucht als:
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