Aussagenlogik mit Wahrheitstabellen
Eine Wahrheitstabelle listet für jede Kombination von Wahrheitswerten der Variablen auf, ob ein logischer Ausdruck wahr oder falsch ist. Wahr wird mit 1, falsch mit 0 geschrieben. Bei n Variablen gibt es 2ⁿ Zeilen, bei vier Variablen also 16. Wahrheitstabellen werden in Mathematik, Informatik, Philosophie und Elektrotechnik verwendet.
Der Rechner versteht die üblichen Verknüpfungen: Negation (nicht), Konjunktion (und), Disjunktion (oder), Kontravalenz (xor), Implikation (wenn, dann) und Äquivalenz (genau dann, wenn). Sie können Symbole wie ∧ und ∨, Zeichen wie & und | oder die Wörter und, oder, nicht eingeben. Klammern legen die Reihenfolge fest.
Als Ergebnis erhalten Sie die Tabelle in binärer Reihenfolge, die Ergebnisspalte als Ziffernfolge, die Zahl der wahren Zeilen und eine Einordnung als Tautologie, Kontradiktion oder erfüllbaren Ausdruck. Außerdem bildet der Rechner die kanonische disjunktive Normalform aus allen Zeilen, in denen der Ausdruck wahr ist.
Operatoren, Rangfolge und Normalformen
Ohne Klammern gilt eine feste Rangfolge: Die Negation bindet am stärksten, danach folgen und, xor, oder, die Implikation und zuletzt die Äquivalenz. A ∨ B ∧ C wird also als A ∨ (B ∧ C) gelesen. Die Implikation wird von rechts geklammert. Setzen Sie im Zweifel Klammern, der Rechner zeigt den erkannten Ausdruck mit allen Klammern an.
Die Implikation A → B ist nur dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist. Das wirkt anfangs ungewohnt: Aus einer falschen Voraussetzung folgt formal alles. Die Kontraposition ¬B → ¬A ist zur Implikation gleichwertig. Geben Sie A -> B <-> nicht B -> nicht A ein, zeigt der Rechner, dass diese Äquivalenz eine Tautologie ist.
Mit Wahrheitstabellen lassen sich logische Gesetze prüfen, etwa die Regeln von De Morgan: ¬(A ∧ B) ist gleichwertig zu ¬A ∨ ¬B. Zwei Ausdrücke sind genau dann gleichwertig, wenn ihre Ergebnisspalten übereinstimmen. Ist die Äquivalenz beider Ausdrücke eine Tautologie, ist die Gleichwertigkeit bewiesen.
Die disjunktive Normalform verknüpft für jede wahre Zeile die Variablen mit und, negiert dort, wo sie 0 sind, und verbindet diese Terme mit oder. Sie ist nicht vereinfacht, eignet sich aber als Ausgangspunkt für die Minimierung mit KV-Diagrammen in der Digitaltechnik.
Tipps und typische Fehler
Logik prüfen.
- Klammern: Im Zweifel setzen.
- Zeilen: Zwei hoch n.
- Implikation: Nur 1 → 0 falsch.
- Vergleich: Ergebnisspalten.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Wie viele Zeilen hat eine Wahrheitstabelle?
Bei n Variablen 2ⁿ Zeilen, also 4 Zeilen bei zwei, 8 bei drei und 16 bei vier Variablen.
Wann ist eine Implikation falsch?
Nur wenn die Voraussetzung wahr und die Folgerung falsch ist.
Was ist eine Tautologie?
Ein Ausdruck, der in jeder Zeile der Wahrheitstabelle wahr ist, unabhängig von den Werten der Variablen.
Wie prüfe ich, ob zwei Ausdrücke gleichwertig sind?
Ihre Ergebnisspalten vergleichen oder die Äquivalenz beider auf Tautologie prüfen.
Was ist der Unterschied zwischen oder und xor?
Oder ist auch wahr, wenn beide wahr sind, xor nur bei genau einem.
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