Warten auf den ersten Erfolg
Die geometrische Verteilung beantwortet die Frage, wie lange man auf den ersten Erfolg warten muss. Sie gilt für eine Folge unabhängiger Versuche mit jeweils gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit p, zum Beispiel Würfeln bis zur ersten Sechs, Losen bis zum ersten Gewinn oder Prüfen von Bauteilen bis zum ersten fehlerhaften Teil.
Damit der erste Erfolg genau im k-ten Versuch eintritt, müssen die ersten k − 1 Versuche Misserfolge sein und der k-te ein Erfolg. Die Wahrscheinlichkeit ist deshalb (1 − p) hoch k − 1 mal p. Sie ist für k = 1 am größten und nimmt mit jedem weiteren Versuch ab. Der wahrscheinlichste Zeitpunkt für den ersten Erfolg ist also immer der erste Versuch.
Der Rechner berechnet außerdem die kumulierte Wahrscheinlichkeit, dass der erste Erfolg spätestens im k-ten Versuch kommt, die Gegenwahrscheinlichkeit, den Erwartungswert 1/p, die Standardabweichung und die Zahl der Versuche, nach der mit mindestens 90 Prozent Wahrscheinlichkeit ein Erfolg eingetreten ist.
Beispiele und Fallstricke
Beim Würfeln ist p = 1/6, also etwa 16,67 Prozent. Im Mittel braucht man sechs Würfe bis zur ersten Sechs. Die Wahrscheinlichkeit, nach sechs Würfen immer noch keine Sechs zu haben, beträgt (5/6)⁶, also rund 33,5 Prozent. Für 90 Prozent Sicherheit sind 13 Würfe nötig. Viele unterschätzen, wie lange Pechsträhnen dauern können.
Auch die geometrische Verteilung ist gedächtnislos. Eine Reihe von Misserfolgen erhöht die Chance beim nächsten Versuch nicht. Wer beim Roulette nach fünfmal Rot auf Schwarz setzt, hat dieselbe Gewinnchance wie zuvor. Dieser Irrtum ist als Spielerfehlschluss bekannt und ein häufiger Grund für Verluste bei Glücksspielen.
In der Literatur gibt es zwei Varianten. Hier wird die Zahl der Versuche bis einschließlich zum ersten Erfolg gezählt, die Werte beginnen also bei 1. Andere Bücher zählen nur die Misserfolge vor dem ersten Erfolg, dann beginnt die Verteilung bei 0 und der Erwartungswert ist (1 − p)/p. Prüfen Sie, welche Variante Ihre Aufgabe meint.
Die Verteilung setzt unabhängige Versuche mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit voraus. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich p mit jedem Zug, dann passt das Modell nicht. Für die Zahl der Erfolge bei fester Versuchszahl nutzen Sie den Binomialverteilung-Rechner, für Würfelwahrscheinlichkeiten den Würfelwurf-Rechner.
Tipps und typische Fehler
Versuche planen.
- Unabhängig: Voraussetzung prüfen.
- Zählweise: Ab 1 oder 0.
- Mittel: Eins durch p.
- Sicherheit: 90-%-Wert nutzen.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Was beschreibt die geometrische Verteilung?
Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Erfolg einer Versuchsreihe genau im k-ten Versuch eintritt.
Wie viele Versuche braucht man im Mittel?
Der Erwartungswert ist 1/p, bei 20 Prozent Erfolgswahrscheinlichkeit also 5 Versuche.
Steigt die Chance nach vielen Fehlversuchen?
Nein. Die Versuche sind unabhängig, jeder neue Versuch hat dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit.
Wie oft muss ich im Mittel bis zur ersten Sechs würfeln?
Sechsmal, denn der Erwartungswert ist 1 ÷ (1/6).
Was ist der Spielerfehlschluss?
Der Irrtum, nach vielen Misserfolgen sei ein Erfolg wahrscheinlicher.
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