Wartezeiten mit der Exponentialverteilung
Die Exponentialverteilung beschreibt Wartezeiten zwischen zufälligen Ereignissen, die unabhängig voneinander mit gleichbleibender Rate eintreten. Typische Beispiele sind die Zeit bis zum nächsten Anruf in einem Callcenter, bis zum nächsten Kunden an einer Kasse oder bis zum Zerfall eines radioaktiven Atomkerns. Sie ist das stetige Gegenstück zur geometrischen Verteilung.
Der einzige Parameter ist die Rate λ, also die mittlere Zahl der Ereignisse pro Zeiteinheit. Die mittlere Wartezeit ist 1/λ. Kommen im Schnitt 0,5 Kunden pro Minute, wartet man im Mittel zwei Minuten. Zählt man die Ereignisse in einem festen Zeitraum, erhält man eine Poisson-Verteilung mit derselben Rate.
Der Rechner berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass die Wartezeit höchstens x beträgt, die Gegenwahrscheinlichkeit und die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall von x bis x₂. Dazu kommen Dichte, Erwartungswert, Standardabweichung, Median und ein frei wählbares Quantil, etwa die Zeit, innerhalb derer 90 Prozent der Wartezeiten liegen.
Eigenschaften und Anwendung
Die wichtigste Eigenschaft ist die Gedächtnislosigkeit. Wer bereits eine Zeit lang gewartet hat, muss im Mittel genauso lange weiter warten wie zu Beginn. Formal gilt P(X > s + t | X > s) = P(X > t). Das passt zu Vorgängen ohne Alterung, etwa zufälligen Ausfällen elektronischer Bauteile, nicht aber zu Verschleiß, bei dem das Ausfallrisiko mit der Zeit steigt.
Der Median liegt mit ln 2 / λ deutlich unter dem Erwartungswert. Die Hälfte aller Wartezeiten ist also kürzer als etwa 69 Prozent des Mittelwerts. Lange Wartezeiten sind selten, ziehen den Mittelwert aber nach oben. Erwartungswert und Standardabweichung sind bei der Exponentialverteilung immer gleich groß.
In der Physik entspricht der Median der Halbwertszeit eines radioaktiven Stoffs, λ der Zerfallskonstante. In der Zuverlässigkeitstechnik wird 1/λ als mittlere Betriebsdauer bis zum Ausfall angegeben, englisch Mean Time To Failure. Achten Sie darauf, dass x und λ dieselbe Zeiteinheit verwenden, also zum Beispiel beide in Stunden.
Ob die Exponentialverteilung zu Ihren Daten passt, sollten Sie mit einem Blick auf die Verteilung der beobachteten Wartezeiten prüfen. Für die Anzahl der Ereignisse in einem Zeitraum nutzen Sie den Poisson-Verteilung-Rechner, für normalverteilte Größen den Normalverteilung-Rechner.
Tipps und typische Fehler
Wartezeiten modellieren.
- Einheit: Für λ und x gleich.
- Mittel: Eins durch λ.
- Median: Kleiner als Mittel.
- Gedächtnislos: Kein Altern.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Wofür verwendet man die Exponentialverteilung?
Für Wartezeiten zwischen unabhängigen, zufälligen Ereignissen mit konstanter Rate, etwa Anrufe, Kunden oder Zerfälle.
Wie hängen λ und der Erwartungswert zusammen?
Der Erwartungswert ist der Kehrwert der Rate, also 1/λ.
Was bedeutet Gedächtnislosigkeit?
Die Restwartezeit hängt nicht davon ab, wie lange bereits gewartet wurde.
Wie schätze ich λ aus Daten?
Als Kehrwert der mittleren beobachteten Wartezeit.
Was ist die Verbindung zur Halbwertszeit?
Die Halbwertszeit entspricht dem Median ln 2 / λ.
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