Die Grundoperationen der Mengenlehre
Eine Menge ist eine Zusammenfassung unterscheidbarer Objekte, der Elemente. Jedes Element kommt in einer Menge nur einmal vor, und die Reihenfolge spielt keine Rolle. Mit Mengen lassen sich Zahlenbereiche, Lösungsmengen von Gleichungen, Ereignisse in der Wahrscheinlichkeitsrechnung oder Datenbestände beschreiben und miteinander verknüpfen.
Die Vereinigung A ∪ B enthält alle Elemente, die in A oder in B oder in beiden liegen. Die Schnittmenge A ∩ B enthält nur die gemeinsamen Elemente. Die Differenz A \ B, gelesen A ohne B, enthält die Elemente von A, die nicht in B liegen. Die symmetrische Differenz A △ B umfasst alles, was in genau einer der beiden Mengen liegt.
Der Rechner entfernt doppelte Einträge, sortiert Zahlen der Größe nach und stellt Wörter alphabetisch dahinter. Zahlen werden als Zahlen verglichen, sodass 2 und 2,0 dasselbe Element sind. Zusätzlich zeigt er die Mächtigkeit, also die Zahl der Elemente, und ob eine Menge Teilmenge der anderen ist oder ob beide disjunkt sind.
Rechenregeln und Anwendungen
Für die Zahl der Elemente gilt die Formel |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Die gemeinsamen Elemente werden sonst doppelt gezählt. Diese Regel heißt Prinzip von Inklusion und Exklusion und wird zum Beispiel bei Umfragen genutzt: Wenn 30 Personen Kaffee und 20 Tee trinken und 8 beides, trinken insgesamt 42 Personen mindestens eines davon.
Vereinigung und Schnitt sind kommutativ und assoziativ, die Reihenfolge der Mengen spielt also keine Rolle. Die Differenz ist dagegen nicht kommutativ: A \ B und B \ A sind im Allgemeinen verschieden. Die Gesetze von De Morgan verbinden die Operationen mit dem Komplement: Das Komplement der Vereinigung ist der Schnitt der Komplemente und umgekehrt.
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung entsprechen die Operationen den Verknüpfungen von Ereignissen. A ∪ B bedeutet, dass A oder B eintritt, A ∩ B, dass beide eintreten. Disjunkte Ereignisse schließen sich gegenseitig aus. Auch in Datenbanken und Tabellenkalkulationen werden Listen auf diese Weise abgeglichen, etwa um Kunden zu finden, die in zwei Listen vorkommen.
Eine leere Eingabe steht für die leere Menge ∅. Groß- und Kleinschreibung wird bei Wörtern unterschieden, Rot und rot sind also verschiedene Elemente. Für die logische Entsprechung der Mengenoperationen mit und, oder und nicht nutzen Sie den Wahrheitstabelle-Rechner.
Tipps und typische Fehler
Mengen verknüpfen.
- Doppelte: Zählen einmal.
- Reihenfolge: Egal.
- Differenz: Nicht vertauschbar.
- Formel: Schnitt abziehen.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Schnittmenge und Vereinigung?
Die Schnittmenge enthält nur gemeinsame Elemente, die Vereinigung alle Elemente aus beiden Mengen.
Was bedeutet A \ B?
A ohne B: alle Elemente von A, die nicht in B enthalten sind.
Was ist die symmetrische Differenz?
Die Menge aller Elemente, die in genau einer der beiden Mengen liegen, also Vereinigung ohne Schnittmenge.
Was sind disjunkte Mengen?
Mengen ohne gemeinsame Elemente, ihre Schnittmenge ist leer.
Wann ist A eine Teilmenge von B?
Wenn jedes Element von A auch in B liegt.
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