Aufbau des Pascalschen Dreiecks
Das Pascalsche Dreieck ist eine dreieckige Anordnung von Zahlen, benannt nach dem französischen Mathematiker Blaise Pascal. An der Spitze steht eine 1, und jede Zeile beginnt und endet mit 1. Jede andere Zahl ist die Summe der beiden Zahlen, die schräg darüber stehen. So entstehen die Zeilen 1 1, dann 1 2 1, dann 1 3 3 1 und so weiter.
Die Einträge sind genau die Binomialkoeffizienten. Der k-te Eintrag der n-ten Zeile ist n über k, also die Zahl der Möglichkeiten, k Elemente aus n Elementen ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwählen. Gezählt wird bei Zeilen und Positionen jeweils ab 0. Diese doppelte Bedeutung macht das Dreieck in Kombinatorik, Algebra und Wahrscheinlichkeitsrechnung nützlich.
Der Rechner erzeugt die gewünschte Zeile durch fortlaufende Addition, so wie man das Dreieck von Hand aufbauen würde. Er zeigt den Binomialkoeffizienten, die vollständige Zeile, deren Summe, den größten Eintrag und die Zahl der ungeraden Einträge. Bis Zeile 50 sind alle Werte exakt.
Anwendungen und Muster
Beim Ausmultiplizieren von (a + b)ⁿ liefern die Einträge der n-ten Zeile die Koeffizienten. So gilt (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ mit den Zahlen 1, 4, 6, 4, 1 aus Zeile 4. Für die zweite Potenz ergeben sich die bekannten binomischen Formeln mit den Koeffizienten 1, 2, 1.
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschreiben die Einträge, auf wie viele Arten k Treffer bei n Versuchen auftreten können. Das ist die Grundlage der Binomialverteilung. Beim Lotto 6 aus 49 ist die Zahl der möglichen Tipps 49 über 6 = 13.983.816, also der Eintrag an Position 6 in Zeile 49.
Das Dreieck enthält viele Muster. Es ist symmetrisch, weil n über k gleich n über n − k ist. Die Zeilensummen sind Zweierpotenzen. Die Summen entlang flacher Diagonalen ergeben die Fibonacci-Zahlen. Färbt man die ungeraden Einträge, entsteht das Sierpinski-Dreieck. Ist n eine Primzahl, sind alle inneren Einträge der Zeile durch n teilbar.
Für große n wachsen die Einträge schnell. Der mittlere Eintrag von Zeile 50 hat bereits 15 Stellen. Für Binomialkoeffizienten mit größeren Zahlen verwenden Sie den Kombinatorik-Rechner, für Wahrscheinlichkeiten den Binomialverteilung-Rechner.
Tipps und typische Fehler
Mit dem Dreieck rechnen.
- Zählung: Ab 0 beginnen.
- Summe: Zwei hoch n.
- Binom: Koeffizienten ablesen.
- Symmetrie: Halbe Arbeit.
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Häufige Fragen
Wie ist das Pascalsche Dreieck aufgebaut?
Jede Zahl ist die Summe der beiden darüberliegenden Zahlen, am Rand steht jeweils 1.
Was hat das Pascalsche Dreieck mit Binomialkoeffizienten zu tun?
Der k-te Eintrag der n-ten Zeile ist genau der Binomialkoeffizient n über k.
Warum ist die Zeilensumme 2ⁿ?
Sie zählt alle Teilmengen einer Menge mit n Elementen, und davon gibt es 2ⁿ.
Welche Zeile gehört zu (a + b)⁵?
Zeile 5 mit 1, 5, 10, 10, 5, 1.
Warum ist das Dreieck symmetrisch?
Weil n über k gleich n über n − k ist.
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