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Mathe & Formeln

Binomische Formel berechnen

Wählen Sie die Formel und tragen Sie a, b und x ein. Der Rechner zeigt den ausmultiplizierten Term, die Koeffizienten und den Wert.

Ihr Term
Ergebnis

Wie lautet der ausmultiplizierte Term?

Die binomischen Formeln sind drei Rechenregeln, mit denen sich Klammern der Form (a + b)² schnell ausmultiplizieren lassen. Die erste lautet (a + b)² = a² + 2ab + b², die zweite (a − b)² = a² − 2ab + b² und die dritte (a + b)(a − b) = a² − b². Sie sind ein Pflichtthema der Mittelstufe.

Der Rechner löst Terme der Form (ax + b)² mit beliebigen Zahlen für a und b. Aus (2x + 3)² wird 4x² + 12x + 9. Er zeigt den Term vorher und nachher, die Koeffizienten von x², x und der Konstanten und berechnet den Wert für ein x, das Sie eingeben: Für x = 1 ergibt sich 25.

Auch Brüche und Dezimalzahlen sind erlaubt. Der Rechner zeigt das Ergebnis mit Dezimalkomma. Er hilft beim Kontrollieren von Hausaufgaben und beim Verstehen der Regeln.

(ax+b)2=a2 x2+2 abx+b2; (ax−b)2=a2 x2−2 abx+b2; (ax+b) (ax−b)=a2 x2−b2\left(\text{ax} + b\right)^{2} = a^{2}\,x^{2} + 2\,\text{abx} + b^{2};\ \left(\text{ax} - b\right)^{2} = a^{2}\,x^{2} - 2\,\text{abx} + b^{2};\ \left(\text{ax} + b\right)\,\left(\text{ax} - b\right) = a^{2}\,x^{2} - b^{2}

Beispiel: (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9, für x = 1 ergibt das 25. (x − 5)² = x² − 10x + 25. (3x + 2)(3x − 2) = 9x² − 4, bei x = 2 gleich 32.

Binomische Formeln anwenden

Die Formeln helfen beim Kopfrechnen: 99² ist (100 − 1)² = 10.000 − 200 + 1 = 9.801 und 51 × 49 ist (50 + 1)(50 − 1) = 2.500 − 1 = 2.499. Wer die Muster erkennt, rechnet viel schneller. Weitere Rechenhilfen finden Sie im Potenz-Rechner.

Beim Faktorisieren läuft die Rechnung rückwärts: x² + 6x + 9 lässt sich als (x + 3)² schreiben. Das braucht man beim Lösen quadratischer Gleichungen, die der PQ-Formel-Rechner und der ABC-Formel-Rechner lösen. Die quadratische Ergänzung nutzt dieselbe Idee.

Die dritte binomische Formel ist die Differenz zweier Quadrate. Sie hilft, Wurzelausdrücke zu vereinfachen und Nenner rational zu machen. Auch die Zerlegung von Zahlen wie 2.491 = 50² − 3² = 47 × 53 gelingt damit.

Typische Fehler sind das Vergessen des mittleren Terms: (a + b)² ist nicht a² + b². Prüfen Sie Ihr Ergebnis mit dem Rechner und einem Beispielwert für x.

Tipps und typische Fehler

Formeln anwenden.

  • Mitte: 2ab nicht vergessen.
  • Kopfrechnen: 99².
  • Faktorisieren: Rückwärts.
  • Probe: Wert einsetzen.

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Häufige Fragen

Wie lauten die drei Formeln?

(a+b)², (a−b)² und (a+b)(a−b).

Was ist der häufigste Fehler?

Der mittlere Term 2ab wird vergessen.

Wofür braucht man sie?

Zum Ausmultiplizieren, Faktorisieren und für Kopfrechentricks.

Wie lauten die binomischen Formeln?

(a+b)², (a−b)² und (a+b)(a−b).

Welcher Fehler passiert oft?

Der mittlere Term fehlt.

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