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Potenz berechnen

Tragen Sie Basis und Exponent ein. Der Rechner zeigt das Ergebnis, die wissenschaftliche Schreibweise und den Kehrwert.

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Potenzen schnell berechnen

Eine Potenz besteht aus einer Basis und einem Exponenten und bedeutet wiederholte Multiplikation: 2 hoch 10 ist zehnmal die 2 miteinander multipliziert, also 1.024. Potenzen sind die Grundlage von Zinseszins, Flächen und Volumen, exponentiellem Wachstum und wissenschaftlichen Zahlenangaben. Wegen des schnellen Wachstums sind schon kleine Basen mit größerem Exponenten riesige Zahlen.

Für den Exponenten gelten Regeln: Ein negativer Exponent führt zum Kehrwert, 2 hoch minus 2 ist ein Viertel. Der Exponent 0 ergibt immer 1. Ein gebrochener Exponent entspricht einer Wurzel, 9 hoch ein halb ist 3. Negative Basen sind nur mit ganzzahligem Exponenten erlaubt, denn (−3) hoch 3 ergibt −27, (−3) hoch 0,5 aber ist im Reellen nicht definiert.

Der Rechner gibt das Ergebnis aus, bei sehr großen oder kleinen Werten in wissenschaftlicher Schreibweise, bei der eine Zahl mit einer Zehnerpotenz dargestellt wird, etwa 1,024 mal 10 hoch 3. Zusätzlich zeigt er den Kehrwert und den Zehnerlogarithmus des Betrags.

Potenz=BasisExponent\text{Potenz} = \text{Basis}^{\text{Exponent}}a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^{n}}

Beispiel: 2 hoch 10 ergibt 1.024, der Kehrwert 0,000977 und der Zehnerlogarithmus 3,0103. 2 hoch minus 2 ist 0,25, minus 3 hoch 3 ergibt −27. 10 hoch 15 wird als 1 × 10^15 dargestellt.

Rechenregeln

Gleiche Basen werden bei der Multiplikation addiert: a hoch m mal a hoch n gleich a hoch m plus n. Bei der Division werden die Exponenten subtrahiert, bei der Potenz einer Potenz multipliziert. Diese Regeln erleichtern das Rechnen mit großen Zahlen und die Umformung von Gleichungen. Für verschiedene Basen mit gleichem Exponenten gilt: (a mal b) hoch n gleich a hoch n mal b hoch n.

Typische Anwendungen sind Zinseszins mit (1 plus Zinssatz) hoch Jahre, Verdopplungszeiten, Flächen mit der Länge hoch 2 und Volumen mit der Länge hoch 3. Auch Dateigrößen mit Zweierpotenzen und Zehnerpotenzen bei Einheiten wie Kilo, Mega, Giga gehören dazu. Bei Zinseszins hilft der Zinseszins-Rechner.

Grenzen: Das Ergebnis wird mit doppelter Genauigkeit berechnet. Für sehr große Potenzen über 10 hoch 308 reicht der Zahlenbereich nicht, der Rechner meldet dann einen Fehler. Exakte Ganzzahlpotenzen darüber erfordern Software für beliebige Genauigkeit.

Die Anzeige rundet auf neun Nachkommastellen. Bei Basen sehr nahe an 1 und großen Exponenten ist die Rundung zu beachten.

Tipps und typische Fehler

Potenzen beherrschen.

  • Rechenregeln: Exponenten addieren.
  • Negativ: Kehrwert bilden.
  • Gebrochen: Wurzel ziehen.
  • Groß: Zehnerpotenzen nutzen.

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Häufige Fragen

Was ist eine negative Potenz?

Der Kehrwert der positiven Potenz, 2 hoch minus 3 gleich ein Achtel.

Was ergibt eine Zahl hoch 0?

Immer 1, außer bei 0 hoch 0, das nicht eindeutig definiert ist.

Wie berechne ich Potenzen mit Komma im Exponenten?

Als Wurzeln, Basis hoch 0,5 ist die Quadratwurzel.

Was ist 2 hoch 10?

1.024.

Was bedeutet ein negativer Exponent?

Den Kehrwert der positiven Potenz.

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