Fakultät berechnen

Das Produkt aller Zahlen bis n

Die Fakultät einer natürlichen Zahl n, geschrieben n!, ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n. So ist 5! gleich 1 mal 2 mal 3 mal 4 mal 5, also 120. Per Definition gilt 0! gleich 1. Fakultäten wachsen sehr schnell: 10! ist schon 3.628.800 und 20! über zwei Trillionen.

In der Kombinatorik gibt die Fakultät die Zahl der Anordnungen von n verschiedenen Dingen an, die Permutationen. Zehn Personen lassen sich auf 3.628.800 Weisen in eine Reihe stellen. Die Fakultät ist auch Bestandteil der Formeln für Variationen und Kombinationen, etwa beim Lotto oder bei Wahrscheinlichkeiten.

Der Rechner berechnet n! exakt mit großen ganzen Zahlen und zeigt es bis 21 Stellen in voller Länge, darüber in wissenschaftlicher Schreibweise. Zusätzlich nennt er die Zahl der Stellen und die letzte Ziffer ungleich null. Mit n bis 170 liegt der Wert noch im Zahlenbereich vieler Programmiersprachen.

$$n! = 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times n$$

Anwendungen und Hinweise

Fakultäten treten bei Wahrscheinlichkeiten auf. Die Zahl der Möglichkeiten, aus 49 Kugeln 6 zu ziehen, errechnet sich mit Fakultäten und beträgt knapp 14 Millionen. Auch die Zahl der Sitzordnungen, der Passwörter aus Buchstaben ohne Wiederholung und der Wege durch ein Netz werden mit Fakultäten berechnet.

Für große n nutzt man die Näherung von Stirling, nach der n! etwa die Wurzel aus 2 Pi n mal (n durch e) hoch n entspricht. Sie liefert schon für n gleich 10 einen Fehler unter einem Prozent. Der Rechner berechnet dagegen exakt und braucht keine Näherung.

Die Fakultät ist nur für nichtnegative ganze Zahlen im Rechner definiert. Mit der Gammafunktion lässt sich der Begriff auf reelle und komplexe Zahlen erweitern, was hier nicht enthalten ist.

Verwandt sind die Rechner für Kombinatorik und Binomialverteilung, die auf Fakultäten aufbauen und Variationen, Kombinationen und Wahrscheinlichkeiten ausgeben.

Zur Veranschaulichung: Schon 52! ist größer als die Zahl der Atome auf der Erde, und genau so viele Reihenfolgen hat ein gemischtes Kartenspiel mit 52 Karten. Jedes gut gemischte Spiel ist deshalb mit hoher Wahrscheinlichkeit eine Anordnung, die es zuvor noch nie gegeben hat.

Tipps und typische Fehler

Fakultäten verstehen.

• Wachstum: Extrem schnell.
• Anordnungen: n! Reihenfolgen.
• Null: 0! ist 1.
• Näherung: Stirling für große n.

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Häufige Fragen

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