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Fibonacci-Zahl berechnen

Tragen Sie die Position n der Folge ein. Der Rechner zeigt F(n), die Nachbarn und das Verhältnis zum Goldenen Schnitt.

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Die berühmteste Zahlenfolge

Die Fibonacci-Folge beginnt mit 0 und 1, und jede weitere Zahl ist die Summe der beiden vorherigen: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 und so weiter. Sie ist nach dem italienischen Mathematiker Leonardo von Pisa benannt, genannt Fibonacci, der sie im Jahr 1202 in einer Aufgabe über die Vermehrung von Kaninchen beschrieb.

Das Verhältnis aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen nähert sich dem Goldenen Schnitt von etwa 1,6180339887. Dieses Verhältnis taucht in Kunst, Architektur und Natur auf, etwa bei der Anordnung von Samen in Sonnenblumen und den Spiralen von Tannenzapfen. Der Rechner zeigt das Verhältnis von F(n) zu F(n−1).

Außerdem berechnet er den Vorgänger, den Nachfolger und die Summe aller Fibonacci-Zahlen von F(0) bis F(n). Diese Summe ist F(n+2) minus 1. Die Zahlen werden mit großen ganzen Zahlen exakt berechnet, auch wenn sie sehr viele Stellen haben.

F (n)=F (n−1)+F (n−2)mit F (0)=0und F (1)=1F\,\left(n\right) = F\,\left(n - 1\right) + F\,\left(n - 2\right)\quad \text{mit}\ F\,\left(0\right) = 0\quad \text{und}\ F\,\left(1\right) = 1

Beispiel: F(20) beträgt 6.765, der Vorgänger F(19) ist 4.181 und der Nachfolger F(21) 10.946. Das Verhältnis 6.765 zu 4.181 ist 1,618034. Die Summe von F(0) bis F(20) beträgt 17.710. F(90) hat 19 Stellen und beträgt 2.880.067.194.370.816.120.

Hintergründe

Es gibt eine geschlossene Formel, die Formel von Binet, mit der sich F(n) direkt aus dem Goldenen Schnitt berechnen lässt. Für große n ist sie wegen der Rundungsfehler bei Gleitkommazahlen ungenau, deshalb berechnet der Rechner schrittweise exakt. Die Folge wächst exponentiell: Jede 5. Zahl ist durch 5 teilbar, jede 3. gerade.

In der Informatik ist die Fibonacci-Folge ein klassisches Beispiel für Rekursion und dynamische Programmierung. Auch in der Finanzanalyse wird sie bei Fibonacci-Retracements verwendet, einem Verfahren der technischen Analyse, dessen Aussagekraft umstritten ist.

Fibonacci-Zahlen treten in der Natur bei Blütenblättern und Spiralen auf, aber nicht überall, wo sie gesucht werden. Vorsicht vor Überinterpretationen: Der Goldene Schnitt ist nicht der Schlüssel zur Schönheit, wie oft behauptet.

Der Rechner ist für n bis 300 ausgelegt. Größere Werte haben über 60 Stellen und sind für Anwendungen selten nötig.

Zur Übung können Sie die Folge von Hand fortsetzen und mit dem Rechner prüfen. Interessant ist auch, dass die größten gemeinsamen Teiler zweier Fibonacci-Zahlen wieder Fibonacci-Zahlen sind. Das Verhältnis wird schnell stabil, schon ab F(10) stimmt es auf drei Nachkommastellen mit dem Goldenen Schnitt überein.

Tipps und typische Fehler

Folge nutzen.

  • Regel: Summe der zwei Vorgänger.
  • Verhältnis: Nähert sich 1,618.
  • Summe: F(n+2) minus 1.
  • Skepsis: Nicht alles ist Fibonacci.

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Häufige Fragen

Wie lautet die Fibonacci-Folge?

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 und so weiter.

Was hat die Folge mit dem Goldenen Schnitt zu tun?

Das Verhältnis aufeinanderfolgender Zahlen nähert sich ihm an, etwa 1,618.

Wann wurde sie beschrieben?

Im Jahr 1202 von Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci.

Wie lauten die ersten Zahlen?

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.

Wer erfand die Folge?

Beschrieben von Leonardo von Pisa im Jahr 1202.

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