Primzahl prüfen: Ist die Zahl eine Primzahl?

Was eine Primzahl auszeichnet

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist. Die ersten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 und 19. Die 2 ist die einzige gerade Primzahl. Alle anderen natürlichen Zahlen größer als 1 sind zusammengesetzt und lassen sich als Produkt von Primzahlen schreiben, den Primfaktoren.

Zum Prüfen nutzt der Rechner die Probedivision: Er teilt die Zahl durch alle Kandidaten bis zu ihrer Wurzel. Findet sich kein Teiler, ist die Zahl prim. Das reicht, weil ein Teiler über der Wurzel immer einen Partner darunter hat. Zusätzlich nennt der Rechner den kleinsten Teiler, die Zahl aller Teiler und die nächste größere und vorherige kleinere Primzahl.

Primzahlen sind seit der Antike ein zentrales Thema der Mathematik, und heute sind sie in der Kryptografie unverzichtbar: Verschlüsselungsverfahren wie RSA beruhen darauf, dass es leicht ist, große Primzahlen zu multiplizieren, aber schwer, das Produkt wieder zu zerlegen.

$\text{Eine Zahl n ist prim}\,{,}\ \quad \text{wenn}\ \text{sie keinen Teiler zwischen}\,2\quad \text{und}\ \sqrt{\text{n besitzt}}$

Beispiel: Die Zahl 97 ist eine Primzahl. Sie hat nur die beiden Teiler 1 und 97. Die nächste größere Primzahl ist 101, die vorherige 89. Die Zahl 91 ist keine Primzahl, denn sie ist 7 mal 13, hat den kleinsten Teiler 7 und vier Teiler.

Interessantes zu Primzahlen

Es gibt unendlich viele Primzahlen, wie schon Euklid vor über 2.000 Jahren bewies. Ihre Verteilung ist unregelmäßig: Es gibt Primzahlzwillinge wie 11 und 13, die nur zwei auseinanderliegen, und beliebig große Lücken ohne Primzahl. Die größte bekannte Primzahl hat über 40 Millionen Stellen und wurde mit Computern gefunden, meist als Mersenne-Primzahl.

Der Hauptsatz der Arithmetik besagt, dass jede natürliche Zahl größer als 1 auf genau eine Weise als Produkt von Primzahlen darstellbar ist. Die Zerlegung berechnet der Primfaktorzerlegung-Rechner. Auf ihr beruhen das kleinste gemeinsame Vielfache und der größte gemeinsame Teiler.

Der Rechner ist für Zahlen bis eine Milliarde ausgelegt. Für größere Zahlen nutzt man schnellere Testverfahren wie Miller-Rabin. Die Berechnung ist exakt, solange die Zahl in ganzen Zahlen dargestellt wird.

Im Alltag begegnen Primzahlen bei Zahlenrätseln, in Schule und Studium sowie bei Hashfunktionen und Zufallszahlen in der Informatik.

Tipps und typische Fehler

Primzahlen erkennen.

Gerade: Nur die 2 ist prim.
Quersumme: Durch 3 teilbar prüfen.
Endziffer: 0 und 5 sind durch 5 teilbar.
Wurzel: Bis dorthin testen.

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Primzahl prüfen
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Häufige Fragen

Ist 1 eine Primzahl?

Nein, Primzahlen sind größer als 1.

Ist 2 eine Primzahl?

Ja, und die einzige gerade.

Wie prüfe ich, ob eine Zahl prim ist?

Durch Probedivision mit allen Zahlen bis zur Wurzel.

Welche ist die kleinste Primzahl?

Die 2, zugleich die einzige gerade.

Wie viele Primzahlen gibt es?

Unendlich viele.

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