Wurzel berechnen: Quadratwurzel, Kubikwurzel und n-te Wurzel

Was eine Wurzel ist

Die Wurzel ist die Umkehrung des Potenzierens. Die Quadratwurzel einer Zahl ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert das Ergebnis liefert: Die Quadratwurzel aus 144 ist 12, weil 12 mal 12 gleich 144 ist. Die Kubikwurzel, die dritte Wurzel, gibt die Zahl an, die dreimal mit sich selbst multipliziert die Ausgangszahl ergibt: Die Kubikwurzel aus 27 ist 3.

Allgemein ist die n-te Wurzel einer Zahl diejenige Zahl, die zur n-ten Potenz genommen die Ausgangszahl ergibt. Man schreibt sie auch als Potenz mit dem Exponenten 1 durch n. Die vierte Wurzel aus 16 ist 2, denn 2 hoch 4 ist 16. Der Rechner nutzt diese Beziehung für beliebige Exponenten bis 100.

Zusätzlich zeigt er die Quadrat- und Kubikwurzel, eine Probe, bei der die Wurzel wieder potenziert wird, und die Antwort, ob die Zahl eine Quadratzahl ist. Quadratzahlen wie 1, 4, 9, 16, 25 haben ganzzahlige Quadratwurzeln. Bei den meisten Zahlen ist die Wurzel irrational, also eine nichtperiodische Dezimalzahl.

$\text{n-te Wurzel von a} = a^{\frac{1}{n}}$

Beispiel: Die Quadratwurzel aus 144 ist 12, die Probe 12 mal 12 liefert 144, und 144 ist eine Quadratzahl. Die Kubikwurzel aus 144 beträgt 5,241483. Die dritte Wurzel aus 27 ist 3, die vierte Wurzel aus 16 ist 2, die Quadratwurzel aus 2 etwa 1,414214.

Rechenregeln und Hinweise

Wurzeln lassen sich vereinfachen: Die Wurzel aus einem Produkt ist das Produkt der Wurzeln, die Wurzel aus einem Bruch der Bruch der Wurzeln. Die Wurzel einer Summe darf man dagegen nicht auseinanderziehen. Wurzel aus 9 plus 16 ist 5, nicht 3 plus 4. Auch das häufige Teilradizieren hilft beim Kopfrechnen, etwa Wurzel aus 50 gleich 5 mal Wurzel aus 2.

Im Reellen sind Wurzeln gerader Ordnung nur für nichtnegative Zahlen definiert. Die Quadratwurzel aus minus 4 gibt es nur im Bereich der komplexen Zahlen, wo sie 2i beträgt. Der Rechner arbeitet mit reellen Zahlen ab null. Ungerade Wurzeln negativer Zahlen, etwa die Kubikwurzel aus minus 8, ergeben minus 2; sie sind hier nicht enthalten.

Quadratwurzeln begegnen Ihnen im Alltag beim Satz des Pythagoras, bei Flächen und bei der Standardabweichung. Den Pythagoras-Rechner und den Kreis-Rechner finden Sie bei den verwandten Rechnern. Die Genauigkeit entspricht doppelter Gleitkommazahl mit etwa 15 gültigen Stellen.

Zum Schätzen ohne Rechner hilft: Die Quadratwurzel liegt zwischen den Wurzeln der benachbarten Quadratzahlen, Wurzel aus 50 etwa bei 7,07, weil 7 mal 7 gleich 49 ist.

Tipps und typische Fehler

Wurzeln sicher ziehen.

Quadratzahlen: Die ersten merken.
Schätzen: Zwischen Nachbarquadraten.
Probe: Wurzel potenzieren.
Negativ: Gerade Wurzeln nur ab 0.

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Häufige Fragen

Was ist die Quadratwurzel aus 2?

Etwa 1,414214, eine irrationale Zahl.

Wie berechne ich die n-te Wurzel?

Als Potenz mit dem Exponenten 1 durch n.

Kann man aus negativen Zahlen die Wurzel ziehen?

Quadratwurzeln negativer Zahlen gibt es nur bei komplexen Zahlen.

Was ist die Wurzel aus 144?

12, denn 12 mal 12 ist 144.

Wie berechne ich eine dritte Wurzel?

Die Kubikwurzel ist die Zahl hoch ein Drittel.

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